a):   f (v + α w ) = f (v) + α f (w)

    b):   f (α w) = f(&alpha) · f (w)

    c):   f (v) = f (w)  ⇒  v = w

    d):   f (v) = f (w)  ⇒  v  und  w  sind linear abhängig
 

     Wahr    oder        Falsch?
 

Wenn  w  aus der linearen Hülle  L ( v )  ist,

dann ist  f ( w )  aus der linearen Hülle  L ( f ( v ) )

In welchen oder welcher der folgenden Mengen wird  Kern f  dargestellt?
 

    a):    { w ∈ W  |  f ( o_V ) = w }

    b):    { f ( v)  |  v = o_V }

    c):    { v ∈ V  |  f ( v ) = o_W }

    d):    { v ∈ V  |  f ( v ) = f ( o_V ) }
 

    a):   Die Dimension des Kerns von  f

    b):   Die Dimension des Bildes von  f

    c):   Die Dimension von  V

    d):   Die Dimension von  W

    a):    dim Bild f  <  dim Kern f

    b):    dim Bild f + dim Kern f = 2

    c):    dim Kern = 3

    d):    dim Bild f = 4
 

Was weiß man über die Dimension des Kernes?

    a):    Die Dimension von  Kern f  ist mindestens  3

    b):    Die Dimension von  Kern f  ist höchstens  2

    c):    Die Dimension von  Kern f  ist genau  3

    d):    Die Dimension von  Kern f  ist genau  2
 

Einfach ist es immer dann, wenn es um Abbildungen  f : IR ⁿ  →  IR ^m  geht und jeweils die kanonische Basis aus den Einheitsvektoren  e_i  zu Grunde liegt (nur dieser Fall wurde in der Vorlesung behandelt).
In diesem Sinn gelte für  f : IR ²  →  IR ²     f (e₁) = a e₁ + b e₂
Wo in der zugehörigen Matrix stehen die Zahlen  a  und  b ?

    a):    In der ersten Zeile

    b):    In der ersten Spalte

    c):    In der Hauptdiagonale

Gesucht ist die  zweite Zeile  der Matrix, die zur Spiegelung an der Geraden  y = - x  gehört.

(Man mache sich den Sachverhalt an einer Skizze klar)
 

a₂₁ =      a₂₂ =
 

Bei negativen Zahlen Vorzeichen nicht vergessen!

Sei  A = ( v₁ , ... , v_n)  eine Basis von  V  und  B = (w₁ , ... , w_m)  eine Basis von W.

f : V  →  W  sei die durch  f(v_i) = a_1i w₁ + ... + a_mi w_m  definierte lineare Abbildung.

M  sei die  m × n – Matrix, die aus den Koeffizienten  a_ij  besteht.

Wie sieht  M  für den Fall  V = W = IR ²  aus, wenn  f  den  i - ten Basisvektor  v_i  von  A  auf den  i - ten Basisvektor  w_i   von  B  abbildet?    ( i= 1,2 )

Zur Auswahl stehen

Zur richtigen Matrix gehört der Buchstabe (bitte nur a, b oder c eintragen):  

Welche der folgenden Behauptungen treffen zu?  (Zur Erinnerung: Vor der Abbildung wird mit der Basis A, anschließend mit der Basis B gearbeitet)

    a):   Wenn  A  und  B  jeweis die kanonischen Basen sind, ist  f  eine Drehung um den Punkt (0,0).

    b):   Wenn  A  die kanonische Basis und  B  = ( e₂, - e₁ )  ist, ist  f  eine Punktspiegelung an dem Punkt (0,0).

    c):   Wenn  A  die kanonische Basis und  f  die Identität ist, ist  B = ( - e₂ , e₁ )

    d):   Wenn  B  die kanonische Basis und  f  die Spiegelung an der  y - Achse ist,ist  A = ( e₂ , e₁ ).;

Eine Merkregel für lineare Abbildungen sagt 

                   f ( a v + b w ) = a f ( v ) + b f ( w )

Setzt man  a = 1  und   b = α  und beachtet, dass in jedem Vektorraum  1 · v = v  gilt, hat man die Behauptung a).

b) ist ein ziemlicher Unsinn, denn was soll  f ( α )  überhaupt sein?

c) und d) sind ebenfalls falsch, dies erkennt man beispielsweise an der linearen Abbildung, die jeden Vektor auf den Nullvektor abbildet.

Für eine lineare Abbildung  f : IR ³  →  IR ⁴  besagt die Dimensionsformel

    dim IR ³ = 3 = dim Bild f + dim Kern f

Damit sind  b)  ( dim Bild f + dim Kern f = 2 )  und  d)  ( dim Bild f = 4)  garantiert nicht richtig.

a)  ( dim Bild f  <  dim Kern f )  und  c)  ( dim Kern f = 3)  sind möglich, man denke etwa an die Abbildung, die alles auf den Nullvektor wirft.

Nach Voraussetzung ist  w  ein Vielfaches von  v , also  w = a v.

Damit gilt  f ( w ) = f ( a v ) = a f ( v ) , was zu zeigen war.

Eigentlich ganz einfach:

f ( v₁ ) = w₁ = 1 w₁ + 0 w₂     Damit ist die erste Spalte bekannt:   a₁₁ = 1 ,     a₂₁ = 0 .

f ( v₂ ) = w₂ = 0 w₁ + 1 w₂     Damit ist die zweite Spalte bekannt:   a₁₂ = 0 ,      a₂₂ = 1 .

Die gesuchte Matrix ist also die Einheitsmatrix.

Auch aus dem Tiefschlaf gerissen, sollte man wissen:

Die  Dimension des Bildes  einer linearen Abbildung ist der  Rang  dieser Abbildung.

Für die angegebene Spiegelung an der Geraden  y = - x  gilt

f ( e₁ ) = - e₂ = 0 e₁ + (-1) e₂      und     f ( e₂ ) = - e₁ = (-1) e₁ + 0 e₂
 

Wegen  f ( e_i ) = a_1i e₁ + a_2i e₂  sind die gesuchten Zahlen

a₂₁ = - 1   und   a₂₂ = 0 .

Getreu der Eselsbrücke

Das Bild des  i - ten  Basisvektors findet man in der  i - ten  Spalte

bilden  a  und  b  aus  f ( e₁ ) = a e₁ + b e₂  die  erste  Spalte der Matrix.

  Es geht um die Matrix 

 a)   A  und  B  kanonische Basis:  f ( e₁ ) = e₂ ,   f ( e₂ ) = - e₁  bedeutet Drehung um  (0,0)  mit  90° .

 b)   A  kanonische Basis und  B = ( e₂ , - e₁ ) :    f ( e₁ ) = - e₁ ,    f ( e₂ ) = - e₂ , also Punktspiegelung.

 c)   A  kanonische Basis, B = ( b₁, b₂ ),   f = id :     b₂ = f ( e₁ ) = e₁ ,    - b₁ = f ( e₂ ) = e₂ , also B = ( - e₂ , e₁ ) .

 d)   A = ( a₁ , a₂ ),  B  kanonische Basis: Aus der Matrix folgt  f ( a₁ ) = e₂  und  f ( a₂ ) = - e₁. Da  f  die Spiegelung an der  y - Achse ist, folgt  f ( e₁ ) = - e₁  und  f ( e₂ ) = e₂ ,  insgesamt also  A = ( e₂ , e₁ ).

Noch einmal: Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen f : V  →  W  lautet

      dim V = dim Kern f + dim Bild f

In unserem Fall gilt also wegen der Surjektivität

      5 = dim Kern f + 3

Damit sind b) und d) richtig.

Nach Definition besteht der Kern einer linearen Abbildung aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Der Kern ist damit eine Teilmenge (sogar ein Untervektorraum) von  V  und nicht von  W, damit sind a) und b) falsch.

 c)  ist richtig, genau so ist der Kern definiert!

 d)  ist ebenfalls richtig, denn für jede lineare Abbildung ist  f ( o_V ) = o_W.