a)  IR  →  IR ,  f(x) = e^x

    b)  IR  →  IR² ,  g(x) = (2x,0)

    c)  IR²  →  IR ,  h((x,y)) = x+y

    d)  IR²  →  IR² ,  k((x,y)) = (x+y,1)

Gesucht ist die Dimension des Kerns von  h :

Bitte die richtige Zahl eintragen:   dim Kern h  =  

Welche der folgenden Behauptungen über  Fix f  sind richtig?

    a)   Fix f  ist ein Untervektorraum von  V

    b)   Wenn  f  die identische Abbildung ist, folgt  Kern f =  Fix f

    c)   Der Durchschnitt von  Kern f  und  Fix f  ist   { o_V}

    d)   Mit  x  ist auch  2 x  ein Element von  Fix f

    e)   Fix f  ist ein Untervektorraum von  Bild f

Was weiß man über  dim Kern f ?

    a):   Die Dimension des Kerns ist abhängig von der speziellen Abbildung

    b):   Die Dimension des Kerns ist unabhängig von der speziellen Abbildung und es ist  dim Kern f =    (Richtige Zahl eintragen)

Aus wievielen Zeilen und Spalten besteht  A  im Falle  f : IR³  →  IR⁴ ?

   a):  A  besitzt   Zeilen

   b):  A  besitzt   Spalten

Zu welcher linearen Abbildung gehört die Matrix

      ?

    a):    zu  f : IR²  →  IR³ ,   f((x,y)) = (2x+y , x , 2y)

    b):    zu  g : IR³  →  IR² ,   g((x,y,z)) = (2x+y , x+2z)

Wahr       oder   Falsch    ?
 

Untervektorräume werden unter linearen Abbildungen wieder auf Untervektorräume abgebildet

Gesucht ist die  zweite Spalte  der Matrix, die zur linearen Abbildung   f : IR²  →  IR² ,   f((x,y)) = (x+y, 2x-y)  gehört:

    a):    In der zweiten Spalte steht oben  1  und unten  2

    b):    In der zweiten Spalte steht oben  1  und unten  -1

    c):    a) und b) sind beide falsch

Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

    a):    Verschiebung (Translation) um den Vektor  (1, 1)

    b):    Spiegelung an der Geraden  y = 1

    c):    Spiegelung an der Geraden  y = -x

    d):    Drehung um (0,0) mit Drehwinkel 45°  (mathematisch positiv)

    e):    Drehung um (1,2) mit Drehwinkel 720°  (mathematisch positiv)

Welche der folgenden Behauptungen sind wahr?

    a):   dim Kern f  ist nie größer als  dim Bild f

    b):   Je größer dim Kern f  ist, um so kleiner ist dim Bild f

    c):   f  besitzt wenigstens einen Fixpunkt

    d):   f ²  (also  f  verknüpft mit sich selbst) ist ebenfalls eine lineare Abbildung

Die Abbildungen a) und d) sind nicht linear, weil der jeweilige Nullvektor nicht auf den Nullvektor der Bildmenge abgebildet wird (und dies muss bei linearen Abbildungen immer erfüllt sein):
  f(0) = e⁰ = 1 ≠ 0    und    k((0,0)) = (0,1) ≠ (0,0)

Die Abbildungen b)  g(x) = (2x,0  und c)  h((x,y)) = x+y  sind linear.

Wir weisen hier nur c) nach, b) möge man selbst versuchen:

h(a · (x,y)) = h((ax,ay)) = ax + ay = a (x+y) = a · h((x,y))

h( (x,y) + (r,s) ) = h((x+r,y+s)) = (x+r) + (y+s) = (x+y) + (r+s) = h((x,y)) + h((r,s))

Zu einer linearen Abbildung  f : R^m  →  IRⁿ  gehört eine Matrix  A ∈ Mat(n × m) .

  A  hat also  n  Zeilen und  m  Spalten.

Im vorliegenden Fall  f : IR ³  →  IR ⁴  ist daher  n = 4  und  m = 3.

Wir berechnen den Kern:

0 = h((x,y)) = x+y   ⇔   y = -x   ⇔   Kern h = { (x,-x)  |  x ∈ IR } = L ((1,-1))
 

Da die Lineare Hülle von  einem  Vektor erzeugt wird, ist die gesuchte Dimension 1.

Bei jeder linearen Abbildung muss der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet werden. Da dies bei a) und b) nicht der Fall ist, sind diese Abbildungen nicht linear.

c) ist die lineare Abbildung  (x,y)  →  (-y,-x)

d) ist die lineare Abbildung  (x,y)  →  (-y,x)

e) ist lediglich eine komplizierte Darstellung der identischen Abbildung und damit linear.

(Warum c) und d) linear sind, möge man selbst nachprüfen!)

Nach dem Dimensionssatz gilt (da  f  nach Voraussetzung surjektiv, ist  dim Bild f = dim IR ³ = 3):
 

  5 = dim Kern f + 3,     also   dim Kern f  = 2.

Wir bestimmen die gesuchte Matrix zu der linearen Abbildung  f : IR²  →  IR²:

Da  Bild f  ein Untervektorraum ist, stimmt die Aussage.

Etwas genauer: Lineare Abbildungen und Untervektorräume sind beide abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

Sei  f : IR²  →  IR²  eine lineare Abbildung.

  a):   dim Kern  f  ist nie größer als  dim Bild  f   ist falsch, für die Nullabbildung gilt z.B.  dim Kern  f = 2 und  dim Bild f = 0.

  b):   Je größer dim Kern  f  ist, um so kleiner ist  dim Bild  f    ist richtig, folgt direkt aus dem Dimensionssatz.

  c):   f  besitzt wenigstens einen Fixpunkt   ist richtig, denn der Nullvektor ist immer ein Fixpunkt.

  d):   f ²  ist eine lineare Abbildung   ist richtig, kurze Beweisskizze:

         f ² (x+y) = f ( f ( x+y ) ) = f (f (x) + f (y ) ) = f (f (x ) ) + f ( f (y) ) = f ² (x) + f ² (y)

         f ² (ax ) = f ( f ( ax ) ) = f (a f (x ) ) = a f ( f (x) ) = a f ² (x)

A ∈ Mat(3×2) bedeutet für die zugehörige Abbildung
 

f : IR ²  →  IR ³ ,  genauer

Für  f = id gelten  Fix f = V  und Kern f = { o_V}, daher ist b) im allgemeinen falsch.

Alle anderen Aussagen stimmen:

Zu a):  Wegen  o_V = f (o_V)  ist  Fix f   nicht  leer. Für  x, y ∈ Fix f  und  a ∈ IR  gelten
           f (x+y) = f (x) + f (y) = x + y   und  f (ax) = a f (x) = ax , damit ist  Fix f  ein Untervektorraum von  V .

Zu c):   x ∈ Kern f  bedeutet  f (x) = o_V ,   x ∈ Fix f  bedeutet  f (x) = x.
          Beides zusammen ist nur für  o_V = x   möglich, also besteht der Durchschnitt aus  { o_V}.

Zu d):  Richtig, da nach a)  Fix f  ein Untervektorraum ist. (Oder direkt nachprüfen)

Zu e):  Richtig, denn  Fix f  ist ein Vektorraum und wegen  V = W  eine Teilmenge von  Bild f.