Hinweis: Bei diesem Fragebogen sind V = (V,+,· ) und W = (W,+,· ) stets reelle Vektorräume mit den Nullvektoren  oV  bzw.  oW , ferner handelt es sich immer um endlich dimensionale Vektorräume.


Frage 1
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, wenn  f : V  → W  eine lineare Abbildung ist?

   a)  V  und  W  müssen als Vektorräume übereinstimmen

   b)  f(oV) = oW

   c)  f(x+y) = f(x) + f(y)   für alle x,y aus V

   d)  f muss bijektiv sein
 

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Frage 2
Eine lineare Abbildung darf, muss aber nicht bijektiv sein. Wie heißt eine bijektive lineare Abbildung  V  →  W ?

   a)  Endomorphismus

   b)  Automorphismus

   c)  Isomorphismus
 

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Frage 3
Auch Abbildungen von  IR  nach  IR  können linear sein. Welche der folgenden Abbildungen sind  nicht  linear?

   a)   Die konstante Abbildung  f  mit  f(x) := 1  für jede reelle Zahl  x.

   b)   Die Abbildung  g , definiert durch   g(x) :=  e · x , wobei  e  die Eulersche Zahl   e = 2,718 ...   ist.

   c:   Die Abbildung  h , definiert durch   h(x) := x + 1

   d)   Die  Dirichletfunktion  k  definiert durch   k(x) := für jede rationale Zahl  x  und  k(x) := 0  sonst.
 

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Frage 4
Sei  f : V  →  W  eine lineare Abbildung. Wie nennt man die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor  oWW  abgebildet werden?

   a)   Rang  oW

   b)   Bild  oW

  c)   Kern  
 

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Frage 5:
Welche der folgenden Behauptungen für Kern und Bild einer linearen Abbildung  f : V  →  W  treffen zu?

   a)   Wenn   bijektiv ist, ist Kern die leere Menge 

   b)   Kern ist ein Untervektorraum von 

   c)   Wenn  injektiv ist, ist Kern =  Bild 

   d)   Die Bilder der Basiselemente von  V  spannen  Bild    auf 
 

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Frage 6
Wie lautet die Dimensionsformel für lineare Abbildungen  f:  V  →  W ?

   a)   dim  V  =  dim Bild f  -  dim Kern f

   b)   dim  W  =  dim Kern f  +  dim Bild f

   c)   dim  V  =  dim Kern f  +  dim Bild f

   d)   a), b) und c) sind falsch.
 

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Frage 7
Und noch einmal die Dimensionsformel, diesmal mit der ungewohnten Bezeichnung  f : B  →  A . Was ist richtig?

   a)   dim Bild f  =  dim B  -   dim Kern f

   b)    dim A  =  dim Kern f  +   dim Bild f

   c)    dim Kern f  =  dim A  -   dim B

   d)    Weder a) noch b) noch c) sind richtig
 

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Frage 8

Bekanntlich kommt  dim W  in der Dimensionsformel für lineare Abbildungen   f V  →  W   nicht  vor.
 

     Wahr       oder      Falsch ?
 

Für lineare Abbildungen, die nicht surjektiv sind, gilt stets     dim W   >   dim V   -   dim Kern f

 

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Frage 9
Mal etwas anderes:   Wieviele lineare Abbildungen  f :   IR  →  IR  gibt es mit  f (1) = 2 ?

    a)    Keine

    b)    Genau eine

    c)    Abzählbar viele

    d)    Überabzählbar viele

 

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Frage 10
Die Abbildung  fIR3  →  IR2 ,  gegeben durch   f ( (x,y,z) ) = ( x,y ), ist linear. (Wer dies nicht glaubt, möge es überprüfen!).

Gesucht sind die Dimensionen von  Kern und   Bild :

  dim Kern f  = 

  dim Bild f   =  

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Antwort zur Frage 1:
Richtig sind b) und c):

Wenn  f : V  →  W  eine lineare Abbildung ist,

   a):    müssen  V  und  W   nicht  als Vektorräume übereinstimmen, sie müssen lediglich Vektorräume über demselben Körper sein.

   b):    gilt  f(oV) = oW .    Beweisidee:   f(oV) + oW  =  f(oV)  =  f(oV + oV)  =  f(oV) + f(oV) , dann Kürzungsregel.

   c):    gilt selbstverständlich  f(x + y) = f(x) + f(y)  für alle  x,y V , dies wird bereits in der Definition (Linearität) verlangt.

   d):    muss  f  nicht   bijektiv sein, ein Gegenbeispiel ist   f( x ) = oW   für alle  xV.

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Antwort zur Frage 5:
Kreuze bei b) und d):

  Was trifft für lineare Abbildungen  f : V  →  W  zu?

   a):  Wie bereits mehrfach erwähnt, gilt für jede lineare Abbildung  f(oV) = oW . Damit ist immer  oV ∈ Kern f, also kann der Kern nie die leere Menge sein.

   b):  Findet man in jedem Lehrbuch über lineare Algebra als Satz oder als Aufgabe, auch im Skript wurde diese Aussage bewiesen.

   c):  Unsinn, denn es ist  Kern fV  und  Bild fW.   Abgesehen davon gilt für injektive lineare Abbildungen  Kern f = {oV}.

   d):  Richtig, kurze Beweisskizze für  w ∈ Bild f :
         Sei  vV  mit  f(v) = w . Für eine Basis  (x1,...,xn)  von  V  gilt dann  v = a1x1 +...+anx . Wegen der Linearität von  f  ist
         w = f(v) = f(a1x1+...+ anxn) = a1f(x1)+...+anf(xn).
 

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Antwort zur Frage 2:
Richtig ist c):
 

 a):   Endomorphismus  ist nur ein anderer Name für eine lineare Abbildung eines Vektorraumes auf sich selbst.

 b):   Automorphismus  ist eine bijektive lineare Abbildung eines Vektorraumes auf sich selbst.

 c):   Isomorphismus  ist die gesuchte bijektive lineare Abbildung zwischen beliebigen Vektorräumen.
 

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Antwort zur Frage 9
b) und c) sind richtig:

Jede lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder ihrer Basiselemente festgelegt. Da die Zahl  1  eine Basis des eindimensionalen reellen Vektorraumes  IR  ist, ist   durch  f(1)  eindeutig bestimmt: Für jedes  xIR  gilt  f(x) = x f(1) .

b) ist damit richtig und a) und d) sind falsch.

Da eine einelementige Menge abzählbar ist, ist auch c) korrekt.
 

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Antwort zur Frage 4:
Kreuz bei c):

Selbst aus dem Tiefschlaf gerissen, sollte man wissen:

{ v f(v) = oW } =  Kern f .

Rang oW  und  Bild oW  gibt es nicht, wohl aber Rang und  Bild f . Worum handelt es sich denn dabei?

 

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Antwort zur Frage 8:
Wahr:   Bild ist ein Untervektorraum von  W.   Wenn   nicht surjektiv ist, gilt

dim Bild  <  dim W

Die Dimensionsformel lautet

dim V   =   dim Kern f  +  dim Bild

Daher gilt

dim W   >   dim Bild f   =   dim   -   dim Kern f

 

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Antwort zur Frage 7:
Kreuz bei a):

In der bekannten Dimensionsformel (zur Erinnerung:  dim V = dim Kern f + dim Bild f )  ist  V  durch   zu ersetzen.
Lösen wir diese Formel nach  dim Bild f  auf, erhalten wir die Behauptung a).

Der Rest ist falsch, in b) sind  A  und  B  vertauscht worden und c) kann nicht stimmen, da in der Dimensionsformel  A  und   nie gleichzeitig vorkommen.

 

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Antwort zur Frage 10:
Gesucht sind die Zahlen  1  und  2:

Kern f = { (x,y,z)  |   f ( (x,y,z) ) = ( x,y ) = (0,0) }  ⇒  Kern f = { (0,0,z)  |  zIR }.

Damit ist  dim Kern  =  1  und aus der Dimensionsformel folgt

dim Bild = dim IR3  -  dim Kern f  =  3 - 1 = 2
 

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Antwort zur Frage 6:
Kreuz bei c):

Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen  f : V  →  lautet

dim V  =  dim Kern +  dim Bild f

und nicht anders, insbesondere taucht  W  in der Formel nicht auf!

Zusatzfrage ohne Bewertung: Wie lautet die Dimensionsformel für Untervektorräume?

 

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Antwort zur Frage 3:
Kreuze bei a), c) und d):

Achtung: Es sind Abbildungen gesucht, die  nicht  linear sind.

 a):  f ( x ) = 1  nicht linear, da der Nullvektor  0  nicht auf  0  abgebildet wird.

 b):  g (x ) = e · x  linear, kurzer Nachweis:  g (a · x ) = e · (a · x ) = a · (e · x ) = a · g( x )
       und     g (x + y ) = e · (x + y) = e · x + e · y = g( x ) + g( y )

 c):  h ( x ) = x + 1  nicht linear, siehe a).

 d):  Die  Dirichletfunktion  ist nicht linear, sonst wäre  e = e  · 1 = e · f(1) = f(e  · 1 ) = f(e) = 0, Widerspruch (Wer nicht weiß, dass  e  irrational ist, untersuche eine andere irrationale Zahl)

 

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Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
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Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 

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© H. J. Samaga, 17.07.00 / 18.05.01 / 15.09.051