Bitte die richtigen Aussagen ankreuzen:

 L  besteht aus

  a)    einer Menge von Skalaren (= Körperelemente)

  b)    einer Menge von Vektoren

  c)    einer Teilmenge von  IK × V 

  d)    dem  n - fachen kartesischen Produkt   V ×  ... × V

  a)    L( v₁, v₂)  = L( v₂ , v₁ )

  b)    L( v₁ , v₂ , v₁ + v₂ )  =  L( v₁, v₂ )

  c)    L( v₁ , v₂ , v₁ + v₂ )  =  L( v₁+ v₂ )

  d)    Der Nullvektor  o  liegt in jeder linearen Hülle.

In der letzten Frage wurde festgestellt, dass nicht immer  L₁ =  L₂   gelten muss!

Welche der folgenden Aussagen sind immer richtig?

  a)    L₂  ist immer eine Teilmenge von  L₁

  b)    L₂  ist immer eine echte Teilmenge von  L₁

  c)    Der Durchschnitt von  L₁  und   L₂  ist nie leer.

  d)    In unendlichdimensionalen Vektorräumen ist stets  L₁  =  L₂

   Wahr   oder     falsch?
 
 

Jede lineare Hülle ist ein Untervektorraum 
 

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

  a)    L₁  =  L₂    ⇒    v₁  und  v₂  sind linear abhängig

  b)    In eindimensionalen Vektorräumen  V  gilt stets  L₁  =   L₂

  c)    v₁  und  v₂  linear abhängig   ⇒    L₁  =  L₂ 

  d)    Keine der Aussagen  a) bis c) ist richtig
 

Welche der folgenden Vektoren liegen in der linearen Hülle   L ( (1,1,0) , (0,1,1) ) ?

  a)    (1,2,3)

  b)    (1,3,2)

  c)    (2,3,1)

  d)    (-1,1,2)

  e)    Keiner dieser Vektoren

  Wahr  oder    falsch?
 

Wenn in einem Vektorraum    V  =  L( v₁, ... , v_n )  gilt, ist  ( v₁, ... , v_n )  eine Basis von  V  .
 
 

  Wahr  oder     falsch?
 

Für beliebige Vektoren  a,b,c,d  gilt immer

 L ( a , b , c , d )  =   L ( a , b )  ∪  L ( c , d )

     L ( a , b )  =  L ( c , d ) .

Welche der folgenden Behauptungen sind unter dieser Voraussetzung richtig?

  a)     a,b,c,d  müssen linear abhängig sein

  b)     a  und  b  müssen linear unabhängig sein

  c)     a  muss weder von  c  noch von   d  linear abhängig sein

  d)     Es gilt stets  L ( a , c )  =  L ( b , d )
 

(Zur Erinnerung:  Die Addition in diesem Vektorraum ist definiert durch  ( f + g )( x )  =  f ( x ) + g ( x ) ,
             die skalare Multiplikation  durch  (a ·  f  )( x )  =   a · f ( x )  )

Gesucht ist die Dimension  von  L( f, g, h ) , wobei es sich bei  f,  g  und  h  um die Abbildungen
     f ( x ) = x ,    g ( x ) = x³ - x    und      h ( x ) =   e^x     handelt.
 

Bitte die richtige Zahl eintragen:  dim L( f, g, h ) =

 Die  lineare Hülle   L = L( v₁, ... , v_n )  ist nach Definition die Menge aller Linearkombinationen  a₁ v₁ + ... + a_n v_n ,
wobei es sich bei  a_i  um Körperelemente und bei  a_i v_i  um Vektoren handelt.

Diese Linearkombinationen sind natürlich wieder Vektoren.
 

 Fazit:   Die lineare Hülle ist eine Teilmenge von  V .
 

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   a)  Kurze Beweiskizze:
       L₁ = L₂   ⇒  v₂ ∈ L₂   ⇒  v₂ = a ( v₁ + v₂ )   ⇒  a v₁ + ( a - 1 ) v₂ = o   ⇒  v₁  und  v₂   linear abhängig.

   b)  Falsch: In beliebigen reellen Vektorräumen, die nicht nur aus dem Nullvektor bestehen (also von Dimension größer 0) gibt es zwei verschiedene Vektoren   v  und  -v . Für diese Vektoren gilt
 L₁ = L ( v, -v, v - v) = L ( v )  ≠  L₂ = L ( v - v ) = L( o ) .

( Auch bei unendlichdimensionalen Vektorräumen, man erinnere sich an Frage 3 d) )

   c) Wurde in b) mit behandelt, denn  v  und  -v  sind linear abhängig.
 

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  a)  Weil die additive Gruppe in einem Vektorraum immer kommutativ ist, kommt es bei Linearkombinationen nicht auf die Reihenfolge der Summanden an, also   L ( v₁ , v₂ ) = L ( v₂ , v₁ )

  b)  Wegen  a₁ v₁ + a₂ v₂ + a₃ ( v₁ + v₂ ) = ( a₁ + a₃ ) v₁ + ( a₂ + a₃ ) v₂  ist  L ( v₁ , v₂ , v₁ + v₂ )  ⊂  L ( v₁ , v₂ ) ,
    wegen  a₁ v₁ + a₂ v₂ = a₁ v₁ + a₂ v₂ + 0 · ( v₁ + v₂ )  gilt auch die Umkehrung  ⊃.

  c)  L ( v₁ , v₂ , v₁ + v₂ ) = L ( v₁ + v₂)  ist falsch, mehr sei an dieser Stelle noch nicht verraten!

  d)  Der Nullvektor  o  liegt in der Tat in jeder linearen Hülle. Für die leere Menge gilt dies per Definition, in allen anderen Fällen setze man  a_i = 0  für jedes  i .

  a):   Im  IR²  kann es keine Menge von vier Vektoren geben, die linear unabhängig sind!
        Wer hier kein Kreuz gemacht hat, hat eigentlich 10 Minuspunkte verdient!

  b):   a  und  b  müssen nicht linear unabhängig sein, wie folgendes Beispiel zeigt:   a = (1,0),   b = (2,0),   c = (3,0),   d = (4,0).

  c):   Sieht man am Beispiel   a = (1,0),   b = (1,1),   c = (0,1),   d = (2,2).

  d):   Wurde durch das Beispiel in c) widerlegt.
 

Jede lineare Hülle ist ein Untervektorraum!
 

Dies ist einfach zu beweisen (wie zeigt man, dass eine Teilmenge eines Vektorraums selbst ein Vektorraum ist?), es steht in jedem Lehrbuch über lineare Algebra - wenn es nicht eine Übungsaufgabe ist.

Wer mein Skript hat, kann auch dort nachsehen!
 

Wir geben ein Gegenbeispiel im Vektorraum  IR²  an:

Für  a = (1,0),   b = (2,0),   c )= (0,1),   d = (0,2)  ist

      L ( a , b , c , d ) = IR²  und damit  (1,1) ∈  L ( a , b , c , d )

      Aber  (1,1) ∉  L ( a , b )  ∪  L ( c , d )

 Bemerkung: Die Vereinigung von Untervektorräumen ist  nur in Ausnahmefällen selbst ein Vektorraum!

In L( v₁, ... , v_n )  können Vektoren  v₁, ... , v_n   linear abhängig sein, dies kam in den vergangenen Fragen mehrfach vor.

Basisvektoren sind aber nach Definition stets linear unabhängig.

V = L ( v₁, ... , v_n )  bedeutet lediglich, dass die Vektoren  v₁, ... , v_n  ein Erzeugendensystem des Vektorraums bilden.
 

Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit der Funktionen  f, g, h , damit ist die gesuchte Dimension 3:

Zu zeigen ist:  a ·  f  +  b · g  +  c · h   ist nur dann die Nullfunktion, wenn  a = b = c = 0  ist.

Nullfunktion bedeutet: Für alle reellen Zahlen  x  ist   ( a ·  f  +  b · g  +  c · h ) ( x )  =  0

Wir setzen (in diese Nullfunktion) verschiedene Werte für  x  ein:

x = 0 :    0 = ( a · f + b · g + c · h ) ( 0 ) = a · 0 + b · (0³ - 0) + c · e⁰ = c       ⇒  c = 0

x = 1 :    0 = ( a · f + b · g + c · h ) ( 1 ) = a · 1 + b · (1³ - 1) + 0 · e¹ = a       ⇒  a = 0

x = 2 :    0 = ( a · f + b · g + c · h ) ( 2 ) = 0 · 2 + b · (2³ - 2) + 0 · e² = 6 b

Damit ist die lineare Unabhängigkeit dieser drei Funktionen aus  ( Abb( IR, IR), + , · )  gezeigt.

In   L ( (1,1,0) , (0,1,1) )  liegen alle Vektoren der Gestalt  a (1,1,0) + b (0,1,1) = ( a , a+b , b ) .

Ein Tripel gehört also genau dann zu dieser linearen Hülle, wenn die mittlere Komponente die Summe der beiden anderen Komponenten ist.

Dies ist nur im Fall  a)   (1,2,3)  falsch.
 

   a)  L₂  ist immer eine Teilmenge von  L₁ , denn jedes Element    a ( v₁ + v₂ )  ∈  L₂
        gehört wegen  a ( v₁ + v₂ )  =  0 v₁ + 0 v₂ + a ( v₁ + v₂ )  auch zu  L₁.

   b)  ist falsch, beispielsweise für  v₁ = v₂  ist  L₁ = L₂.

  c)  Wurde schon in der letzten Frage behandelt! (Siehe Frage 2, d) )

  d)  Leider falsch, ein Gegenbeispiel wird noch folgen ...