Die Vereinigungsmenge des Durchschnitts von  A und B  mit dem Durchschnitt von   A und C  ist gleich dem Durchschnitt von   A  mit der Vereinigungsmenge von  B und   C
 

  a)  A × B  besitzt sieben Elemente
  b)  Es gibt   81 Abbildungen von   B  nach   A
  c)  Es gibt   81 Abbildungen von   A  nach   B
  d)  Die Potenzmenge von   B  besitzt   acht  Elemente
  e)  Keine der Bedingungen a) bis d) ist richtig

Die leere Menge ist ein Element der Potenzmenge ihrer Potenzmenge

  a)  R  enthält jedes Paar   ( a,a )  aus   M × M 
  b)  Wenn  ( a,b )  zur Relation gehört, dann auch   ( b,a )
  c)  Wenn   ( a,b )  und   ( c,a)  zur Relation gehören, dann auch  ( c,b )
  d)  Wenigstens ein Paar   ( a,a )  gehört zur Relation
  e)  Keine der Bedingungen a) bis d) sind richtig
 

  a)  Jede stetige Funktion ist differenzierbar
  b)  Jede differenzierbare Funktion ist stetig
  c)  Wenn eine Funktion stetig ist, kann sie nicht differenzierbar sein
  d)  Es gibt stetige Funktionen, die differenzierbar sind
 

                                "3  über   2" 
 

  a)   ggT ( 18, 45) = 9

  b)   ggT ( a,b ) ist stets eine Primzahlpotenz

  c)   ggT ( a,b ) = a    ==>     kgV ( a,b ) = b 

  d)   a · b =   ggT( a,b ) ·  kgV ( a,b )
 

Welche der Behauptungen sind richtig?

   a)  Die reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Körper
   b)  Jedes Element eines Körpers besitzt zwei nicht notwendig verschiedene inverse Elemente, eins bezüglich der Addition und eins bezüglich der Multiplikation
   c)  Es gibt sowohl Körper mit unendlich vielen als auch mit endlich vielen Elementen
   d)  Es gibt Körper mit genau fünf Elementen

   a)  Zyklische Gruppen von Primzahlordnung
   b)  Endliche Körper
   c)  Zahlenbereiche mit unendlich vielen Primzahlen
   d)  Überhaupt nichts mathematisches
 

     (a) Euklid,   (b) Galois,(c) Fermat,   (d) Cantor   und   (e) Cauchy

geboren?
 

Bitte die Buchstaben a,...,e in der richtigen Reihenfolge in die Kästchen schreiben!

     Euklid      circa  300 v.Chr.
     Fermat     1601 - 1655
     Cauchy    1789 - 1857
     Galois      1811 - 1832
     Cantor      1845 - 1918 

Hierfür gibt es aber (noch) keine Punkte (nur ein dickes Lob!). Was eigentlich gefragt ist:

Wieviele Möglichkeiten hat es gegeben, die Frage nach der Reihenfolge falsch  zu beantworten?

                                     ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) =  A ∩ ( B ∪ C ) 

 b): Lernt man in jeder Analysisvorlesung, kann man auch im Skript nachlesen

 c): Wenn eine Funktion stetig ist, kann sie nicht differenzierbar sein: Unsinn, stetige Funktionen können durchaus differenzierbar sein (vergleiche mit Behauptung b) )!

 d):  Es gibt stetige Funktionen, die differenzierbar sind: Auch hier hilft b) weiter: Jede differenzierbare Funktion hat diese Eigenschaft.

  b)  und c):  Die Anzahl aller Abbildungen von   X  nach   Y  ist für endliche Mengen |Y|^|X|.   Da   4³ = 64 und   3⁴ = 81, ist  b) falsch und c) richtig.

  d):  Die Potenzmenge einer Menge mit   n  Elementen hat   2 ⁿ  Elemente,  wegen 2³ = 8 stimmt d).

  e):  Ist also nicht anzukreuzen.

   a)  und c) ist Fantasie und leider falsch, das Kreuz gehört zu b).
 

Die Relation  { ( a,b ), ( a,c ) }  ist eine transitive Relation auf der Menge  { a,b,c }, sie erfüllt aber keine der Bedingungen a), b), d).

c)  Wenn  ( a,b )  und   ( c,a )  zur Relation gehören, dann auch  ( c,b ) ist richtig (setze in der Definition oben  ( r,s) =( c,a )  und   ( s,t) = ( a,b ) 

Damit ist  e)  nicht anzukreuzen.
 

  b)  Nicht jedes Element eines Körpers besitzt zwei inverse Elemente: Das neutrale Element der Addition besitzt kein inverses Element bezüglich der Multiplikation:
  (0 mal irgendein Element ergibt nie 1)

  c) ist wahr: Die reellen Zahlen bilden einen unendlichen Körper.  { 0, 1 }  mit der Modulo-2-Addition ( 1 + 1 = 0 ) und Multiplikation ist ein endlicher Körper (es gibt noch viele andere ...).

  d) ist richtig (man denke an die Modulo 5 - Rechnung mit ganzen Zahlen).

b) Falsch, ein Gegenbeispiel ist   ggT(6,12) = 6,  keine Primzahl 

c) Wahr:     ggT( a,b ) = a   ==>    b = n ·a    ==>   kgV(a,b)  =   kgV ( a, na )  = n a  =  b

d) Wahr, Beweisidee für   a = p ⁿ ·q ^m   und    b = p ^k · q ^l :

     Wegen  ggT( a,b ) =   p ^min{n,k} · q ^{min {m,l}}  und  kgV( a,b ) =   p ^max{n,k} · q ^{max {m,l}}     ist

     a · b  =   p ⁿ · q ^m · p ^k  ·q ^l = p ^n+k  ·q ^m+l  =   p ^{min{n,k}+max{n,k}} ·q^{min {m,l}+max{m,l}}   = ggT ( a,b )  · kgV( a,b ) 
 

(Anzahl der bijektiven Abbildungen einer Menge mit 5 Elemente auf sich, hatten wir schon mal ...).

Von diesen  120  Fällen ist genau einer richtig, somit bleiben   119 falsche Möglichkeiten.