In der Anschauungsebene  IR ²  seien die Punkte  P = (0,2),  Q = (1,0)  und  R = (2,2)  gegeben.

Was stimmt?

     a)    Die Punkte  P , Q  und  R  genügen dem Reichhaltigkeitsaxiom  (AE 3).

     b)    ( Q, PR ) = g_0,0

     c)    ( P, PQ ) = RQ

     d)    PQ = g_-2,2

Sei als Punktmenge  IP = { A, B, C, D, E }  und als Geradenmenge  G   die Menge aller zweidimensionalen Teilmengen von  IP  gegeben  (also nicht die Anschauungsebene!)

Welche der folgenden Behauptungen für  ( IP , G )  sind richtig?

     a)    Das Axiom  ( AE 1 )  ist erfüllt.

     b)    Das Axiom  ( AE 2 )  ist erfüllt.

     c)    Das Axiom  ( AE 3 )  ist erfüllt.

     d)    Zu jeder Geraden  g  und zu jedem Punkt  P ∉ g  gibt es mindestens eine Gerade durch  P  parallel zu  g .

     e)    Zu jeder Geraden  g  und zu jedem Punkt  P ∉ g  gibt es höchstens eine Gerade durch  P  parallel zu  g .

Hinweis: Man mache sich eine Skizze von diesem Sachverhalt!

Bitte die richtige(n) Behauptung(en) über Parallelität ankreuzen!

     a)    In jeder affinen Ebene ist Parallelität eine Äquivalenzrelation.

     b)    In der Moultonebene (das ist die mit den Knickgeraden) ist Parallelität keine Äquivalenzrelation.

Wahr       oder   Falsch   ?

Die stereografische Projektion von der Einheitskugel ohne Nordpol auf die Anschauungsebene

bildet Kreise der Kugeloberfläche bijektiv auf Geraden der Anschauungsebene ab.

Ab jetzt bleiben wir in der Anschauungsebene  IR ².

Bei welchen der folgenden Abbildungen handelt es sich um Kollineationen?
  Zur Erinnerung: Kollineationen sind Bijektionen der Punktmenge, die Geraden auf Geraden abbilden

     a)    f :  ( ( x, y ) )  =  ( x + 1 , y + 2 )

     b)    g :  ( ( x, y ) )  =  ( x + y , y + x )

     c)    h :  ( ( x, y ) )  =  ( y , x )

     d)    Keine der Aussagen a) bis c) ist richtig.

Bleiben wir bei Kollineationen in der Anschauungsebene. Was stimmt?

     a)    Es gibt Kollineationen mit mindestens einer Fixgeraden, die keine Fixpunkte besitzen.

     b)    Es gibt Kollineationen mit mindestens einem Fixpunkt, die keine Fixgeraden besitzen.

     c)    Beide Behauptungen sind falsch.

Jetzt wollen wir uns ausschließlich mit nichtausgearteten Dilatationen befassen. (Das sind die Dilatationen, bei denen die nicht alle Punkte das gleiche Bild haben.)

Was weiß man über eine solche Dilatation  δ ?

     a)    Für jede Gerade  g  ist  δ ( g )  ||  g .

     b)    Für alle Geraden  g  und  h  mit  g  ||  h  ist  &delta ( g )  ||  δ ( h ) .

     c)    Wenn ein Punkt  P  sowohl auf  g  als auch auf der Bildgeraden  δ ( g )  liegt, muss  P  ein Fixpunkt sein.

Bei welchen der folgenden Abbildungen der Anschauungsebene handelt es sich um Dilatationen?

Das Bild von  ( x , y )  sei

     a)    ( x + 1 , y + 1 )

     b)    ( 2 x , 2 y )

     c)    ( − y , x )

     d)    ( x , − y )

Wir interessieren uns für Dilatationen, die den Punkt  A = ( 0,1)  auf den Punkt  B = (1,0)   abbilden. Was weiß man über das Bild von  P = (1,1) ?

     a)    Es muss auf der Geraden  g_-1,2  liegen

     b)    Es kann nicht auf der Geraden  g_-1,2  liegen

     c)    Es muss auf der Geraden  g_0,0  liegen

     d)    Es kann nicht auf der Geraden  g_0,0  liegen

Die letzte Frage beschäftigt sich nicht mit Abbildungen, wir bleiben aber in der Anschauungsebene.

Wir betrachten paarweise verschieden Punkte  P₁ , P₂ , P₃  auf einer Geraden  g  und  Q₁ , Q₂ , Q₃  auf einer anderen Geraden  h . Was ist richtig?

     a)    Die Geraden  P₁Q₃ , P₂Q₂  und  P₃Q₁  liegen immer kopunktal. (Sie haben einen gemeinsamen Punkt)

     b)    Aus  P₁Q₂ || P₂Q₃  und  P₂Q₁ || P₃Q₂  folgt stets  P₁Q₁ || P₃Q₃

     c)    Aus  P₁Q₂ || P₂Q₃  und  P₂Q₁   nicht parallel zu  P₃Q₂  folgt, dass  P₁Q₁  und  P₃Q₃  ebenfalls nicht parallel sind.

a)  P = (0,2)  und  R = (2,2)  haben die gleiche  y - Koordinate, damit ist  PR = g_m,b  mit  m = 0  und  b = 2 , also
   PR = g_0,2 = { ( x , 2 )   |  x ∈ IR } .
   Q = (1,0)  liegt nicht auf dieser Geraden. Daher erfüllen die drei Punkte das Reichhaltigkeitsaxiom (AE 3).

b)  ( Q, PR )  ist die eindeutig bestimmte Gerade durch  Q = (1,0)  mit gleicher Steigung wie  PR = g_0,2 .
   Durch intensives Hinsehen (wo liegt Q?) erkennt man die Behauptung  ( Q, PR ) = g_0,0.

c)  ist falsch, sonst wären wegen  PQ = ( P, PQ ) = RQ  die drei Punkte  P, Q, R  kollinear.

d)  PQ = g_-2,2  kann man leicht ausrechnen:
   Auf Grund der Koordinaten müssen  P = (0,2)  und  Q = (1,0)  eine Gerade vom Typ  g_m,b  festlegen.
   P  eingesetzt ergibt   2 = m 0 + b = b , dann  Q  eingesetzt ergibt  0 = m + 2 , also  m = − 2.

a)   Wie man hoffentlich leicht erkennt, ist  f  bijektiv. Jeder Punkt wird um (1,2) verschoben, jede Gerade daher auf eine Gerade abgebildet. Es liegt eine Translation vor.

b)   Die Abbildung  g  ist wegen  g ( ( 1,0) ) = g ( ( 0,1 ) )  nicht bijektiv und kommt daher nicht als Kandidat für eine Kollineation in Frage.

c)  Die Koordinatenvertauschung bei  h  ist natürlich bijektiv, es liegt eine Geradenspiegelung vor (man möge sich die Spiegelachse selbst überlegen!).

IP = { A, B, C, D, E },  G = { {A,B},{A,C}, ... ,{D,E} }  kann man so skizzieren:

Da zu je zwei Punkten genau eine Gerade gehört, sind die Axiome ( AE 1 ) und ( AE 3 ) erfüllt.

Zu jeder Geraden  g  und zu jedem Punkt  P ∉ g  gibt es genau zwei parallele Geraden.
(Beispiel:  {E,D}  und  {E,C}  sind verschiedene Geraden durch  E , beide sind parallel zu  {A,B}.)

Damit ist ( AE 2) nicht erfüllt (also b) falsch), auch e) stimmt nicht.

Weil  A  auf  B  abgebildet wird, kommen als Bild von  P  nur Punkte auf  ( B, AP )  in Frage.

Wegen  B = (1,0)  und  AP = g_0,1  handelt es sich hierbei um  g_0,0 .

Damit ist c) richtig und d) falsch.

a) und b) sind beide falsch, denn das Bild von  P  kann (bei einer Translation), muss aber nicht (bei einer Streckung) auf der Geraden  g_-1,2  liegen.

Nicht  alle  Kreise der Oberfläche, sondern nur die Kreise durch den Nordpol werden bijektiv auf die Geraden abgebildet!

a)   ( x , y )  wird abgebildet auf  ( x + 1 , y + 1 )  ist eine Translation und damit eine Dilatation.

b)   ( x , y )  wird abgebildet auf  ( 2 x , 2 y )  ist eine Streckung und damit eine Dilatation.

c)   ( x , y )  wird abgebildet auf  ( − y , x )  ist eine Drehung um (0,0) mit 90 Grad, keine Dilatation.

d)   ( x , y )  wird abgebildet auf  ( x , − y )  ist die Geradenspiegelung an der x - Achse, keine Dilatation.

Jede Dilatation  δ  ist dadurch gekennzeichnet, dass bei verschiedenen Punkten  P  und  Q  stets gilt  δ ( Q ) ∈ ( P, PQ )  —  Gerade und Bildgerade sind immer parallel.

a)   ist richtig:  g = PQ  ||  δ ( P ) δ ( Q ) = δ ( g )

b)   ist richtig, dies gilt sogar für beliebige Kollineationen (Parallele Geraden werden immer auf parallele Geraden abgebildet).

c)   ist falsch, man denke an Translationen: Hier gibt es Fixgeraden (in Translationsrichtung) und damit viele Punkte, die auf  g  und auf der Bildgeraden  δ ( g )  liegen, aber trotzdem keine Fixpunkte sind.

a)   ist grober Unsinn, was sich Jede/r an einer Zeichnung klar machen kann!

b)   ist richtig. Vielleicht eine unübliche Bezeichnung der Punkte, aber hier steht der in der Anschauungsebene gültige Satz von Pappus.

c)   ist ebenfalls richtig, es handelt sich um eine (indirekte) Anwendung des Satzes von Pappus.

a)   Jede (echte) Translation (also verschieden von der Identität) ist fixpunktfrei, hat aber eine komplette Parallelenschar als Fixgeraden  –  vergleiche Frage 5 a).

b)   Jede Drehung besitzt mindestens einen Fixpunkt, aber die meisten Drehungen besitzen keine Fixgerade.
    (Bei welchen Drehwinkeln gibt es doch Fixgeraden?)

In affinen Ebenen heißen zwei Geraden parallel, wenn sie gleich sind oder keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

Damit gilt in  jeder  affinen Ebene:

 —  Jede Gerade ist parallel zu sich selbst - die Reflexivität ist erfüllt.

 —  Wenn  g  parallel zu  h  ist, ist natürlich auch  h  parallel zu  g  - die Symmetrie ist erfüllt.

 —  Sei  g || h  und  h || k  (und alle Geraden paarweise verschieden, sonst folgt die Transitivität direkt). Aus dem Parallelitätsaxiom (AE 2) folgt dann, dass  g  und  k  keinen gemeinsamen Punkt haben, also parallel sind - die Transitivität ist ebenfalls erfüllt.

Eine affine Ebene besteht aus einer Punktmenge  P  und einer Geradenmenge  G , die wir der Einfachheit halber als Teilmenge der Punktmenge auffassen wollen.

( P , G )  heißt affine Ebene, wenn die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

(AE 1): Zwei verschiedene Punkte legen genau eine Gerade fest

(AE 2): Zu jeder Geraden  g  gibt es durch jeden Punkt  P  genau eine parallele Gerade (zwei Geraden sind parallel, wenn sie gleich sind oder ihr Schnitt leer ist)

(AE 3): Es gibt drei Punkte, die nicht gemeinsam auf einer Geraden liegen.

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