a)   In jeder Nullfolge kommt 0 unendlich oft als Folgenglied vor.

     b)   Jede Nullfolge konvergiert gegen 0.

     c)   Jede Nullfolge hat 0 als Häufungspunkt.

     d)   In jeder Nullfolge kommt 0 mindestens einmal als Folgenglied vor.

Welche der folgenden Behauptungen gelten für beliebige Folgen?

     a)   Folgen, in denen die 0 unendlich oft als Folgenglied vorkommt, müssen trotzdem nicht konvergent sein.

     b)   Folgen, in denen die 0 unendlich oft als Folgenglied vorkommt, müssen trotzdem nicht beschränkt sein.

     c)   Folgen, in denen die 0 als Folgenglied vorkommt, können nicht streng monoton sein.

Jetzt geht es mit streng monotonen Folgen weiter. Was stimmt?

    a)   Streng montone Folgen können beschränkt sein.

    b)   Streng montone Folgen müssen beschränkt sein.

Wahr       oder   Falsch   ?
 

Es gibt streng monoton wachsende Folgen, bei denen der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern immer kleiner wird, die nicht konvergent sind.
 

Warum ist die Behauptung der letzten Frage

Es gibt streng monoton wachsende Folgen, bei denen der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern immer kleiner wird, die nicht konvergent sind.

wahr?

     a)   Weil es hierfür mit der harmonischen Reihe ein Beispiel gibt.

     b)   Weil es hierfür mit der geometrischen Reihe ein Beispiel gibt.

     c)   Keine Ahnung warum

Wahr       oder   Falsch   ?
 

Wenn eine Folge zwei der Eigenschaften  monoton,  beschränkt,  konvergent  besitzt, dann auch die dritte.
 

Jetzt geht es intensiv um Häufungspunkte. Was gilt für Folgen ohne Häufungspunkt?

Folgen ohne Häufungspunkt

     a)   können nicht beschränkt sein.

     b)   können nicht monoton sein.

     c)   können nicht konvergent sein.

Es geht weiter um Häufungspunkte. Was gilt für Folgen mit genau einem Häufungspunkt?

Folgen mit genau einem Häufungspunkt

     a)   können monoton sein.

     b)   müssen beschränkt sein.

     c)   müssen konvergent sein.

     d)   können konvergent sein.

Und was gilt für Folgen mit mehr als einem Häufungspunkt?

Folgen mit mehr als einem Häufungspunkt

     a)   können monoton sein.

     b)   können beschränkt sein.

     c)   müssen beschränkt sein.

     d)   können nicht konvergent sein.

Nun zu beschränkten Folgen. Was stimmt?

     a)   Beschränkte Folgen müssen mindestens einen Häufungspunkt haben.

     b)   Beschränkte Folgen dürfen höchstens einen Häufungspunkt haben.

     c)   Beschränkte Folgen, die monoton sind, müssen konvergent sein.

     d)   Beschränkte Folgen, die konvergent sind, müssen monoton sein.

Bei dieser letzten Frage sei  K  die Menge aller konvergenter Folgen,  B  die Menge aller beschränkter Folgen,  H  die Menge aller Folgen mit Häufungspunkt,  O  die Menge aller Folgen ohne Häufungspunkt. Bitte die richtigen Behauptungen ankreuzen:

     a)   K  liegt innerhalb der Schnittmenge von  B  und  H

     b)   H  ist Obermenge von  K  und  B

     c)   B  und  O  haben einen leeren Schnitt

     d)   B  umfasst  H  und  O

Unser Helferlein in vielen Lagen, die Folge  ( 1/n ), ist ein Beispiel für a) und d).

b) und c) sind falsch, dies sieht man an der Folge   0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, .....

Jede konvergente Folge ist beschränkt und jede beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt, damit ist  K  eine Teilmenge von  B  und  B  eine Teilmenge von  H. Also ist

  a)  K  innerhalb der Schnittmenge von B  und  H .

  b)  H  Obermenge von  K  und  B .
 

  c)  Da der Schnitt von  H  und  O  leer ist und  B  in  H  liegt, haben  B  und  O  einen leeren Schnitt.

  d)  B  umfasst nicht  H  (es gibt unbeschränkte Folgen mit Häufungspunkt) und erst recht nicht  O  (jede Folge ohne Häufungspunkt ist notwendigerweise unbeschränkt).

Sehen wir uns die Folge  0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, .... an, in der  0  unendlich oft als Folgenglied vorkommt:

Sie ist weder konvergent, noch beschränkt, daher sind a) und b) richtige Aussagen.
 

Streng monotone Folgen mit  0  als Folgenglied gibt es wie Sand am Meer, ein einfaches Beispiel ist die Folge  0, 1, 2, 3, 4, 5, ....

a):   Folgt direkt aus dem Satz von Bolzano - Weierstraß, der besagt, dass beschränkte Folgen mindestens einen Häufungspunkt besitzen.

b):   Folgen ohne Häufungspunkt können durchaus monoton sein, wie man an der Folge der natürlichen Zahlen sieht.

c):   Konvergente Folgen haben einen Grenzwert, und jeder Grenzwert ist gleichzeitig Häufungspunkt. Also können Folgen ohne Häufungspunkt nicht konvergent sein.

a):   Da monotone Folgen höchstens einen Häufungspunkt besitzen (sollte man wissen), können Folgen mit mehr Häufungspunkten nicht monoton sein.

b):   Folgendes Beispiel belegt die Behauptung:   1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ....

c):   Die Folge 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, 1, 2, 6, 1, 2, 7, .... hat zwei Häufungspunkte und ist nicht beschränkt.

d):   Kurze Beweisskizze: In jeder Umgebung eines jeden Häufungspunktes liegen unendlich viele Folgenglieder. Bei zwei Häufungspunkten können immer so kleine Umgebungen um diese Punkte gewählt werden, dass sie einen leeren Durchschnitt haben. (Man mache sich diesen Sachverhalt an einer Skizze klar!) Damit kann es keinen Grenzwert geben; denn nie liegen wie verlangt in jeder seiner Umgebungen fast alle (also alle bis auf endlich viele) Folgenglieder, stets gibt es unendlich viele Ausreißer.

Wir geben ein Gegenbeispiel an:
 

Die Folge 1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, -1/6, 1/7, ... ist konvergent und damit beschränkt, aber nicht monoton.

Eine der bekanntesten Nullfolgen ist die Folge  1, 1/2, 1/3, 1/4 ... .

Wie man sieht, kommt 0 überhaupt nicht als Folgenglied vor, also können a) und d) nicht richtig sein.

b)  Genau so sind Nullfolgen definiert!

c)  Da jeder Grenzwert gleichzeitig Häufungspunkt ist, muss c) wegen b) auch richtig sein.

a):   Bei der harmonischen Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....  (aufgefasst als Folge) ist das  n - te   Folgenglied

      a_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n .

Diese Folge ist streng monoton wachsend. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist  a_n+1 - a_n  = 1/(n+1) , wird also für wachsendes  n  immer kleiner.
  Trotzdem liegt keine Konvergenz vor (aber dies ist ein anderes Thema ...)

b):   Die geometrische Reihe   1 + q + q² + q³ + ...    hilft nicht weiter, den abhängig von der Zahl  q  liegt entweder Konvergenz vor oder die Abstände werden nicht kleiner.

c): Ist  vielleicht ehrlich, sollte aber im eigenen Interesse schnell geändert werden!

Aber warum??    Darum geht es in der nächsten Frage!

Mit zwei Beispielen können wir die Fragen klären:

a):  Hier hilft mal wieder die Folge  ( 1/n ) : Sie ist streng monoton und beschränkt.

b):  Hier liegen wir mit der Folge der natürlichen Zahlen richtig:  ( n )  ist streng monoton und nicht beschränkt.

a):   Kam in diesem Fragebogen schon einmal vor: Dies ist die Aussage des Satzes von  Bolzano - Weierstraß.

b):   Hatten wir auch schon: 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ... ist ein Gegenbeispiel.

c):   Findet man als Satz in vielen Analysisbüchern und in der Vorlesung.

d):   Man erinnere sich an die Lösung von Frage 5: Die Folge  1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, -1/6, 1/7, ... ist konvergent (jede konvergente Folge ist beschränkt), aber nicht monoton.