Frage 1:
Welche der angegebenen Folgen sind Teilfolgen der Folge der natürlichen Zahlen   1, 2, 3, 4, 5, ... ?

     a)    1, 3, 5, 7, 9, ...   (Folge der ungeraden Zahlen)

     b)    1, 1, 1, 1, 1, ...   (konstante Folge)

     c)    2, 3, 5, 7, 11, 13, ...   (Folge der Primzahlen)

     d)    2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, ...   (je zwei Zahlen vertauscht)

     e)    1, 2, 3, 4, 5, ...  (Ausgangsfolge)

  Zur Kontrolle   oder zur    nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 2:
Wieviele verschiedene Teilfolgen hat die Folge

         1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, ...    (es folgen nur noch Einsen) ??
 

Diese Folge besitzt    verschiedene Teilfolgen

(Bitte die richtige Zahl eintippen)

  Zur Kontrolle   oder zur    nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 3:
Wahr       oder   Falsch    ?
 

Das Produkt zweier konvergenter Folgen ist konvergent

  Zur Kontrolle   oder zur    nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 4:

Die Differenz einer divergenten und einer konvergenten Folge

     a)   ist stets konvergent

     b)   ist stets divergent

     c)   kann divergent oder konvergent sein

  Zur Kontrolle   oder zur    nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 5:

Streng monoton wachsende Folgen haben

    a)   mindestens einen Häufungspunkt

    b)   höchstens einen Häufungspunkt

    c)   mindestens einen Grenzwert

    d)   höchstens einen Grenzwert

  Zur Kontrolle   oder zur    nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 6:
Streng monoton fallende Folgen sind

    a)   manchmal beschränkt

    b)   immer häufungspunktfrei

    c)   garantiert keine Cauchyfolgen

  Zur Kontrolle   oder zur   nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 7:

In den restlichen Fragen geht es um Hochpunkte und Tiefpunkte:

Was wird hier definiert?

Ein Folgenglied  am  einer Folge  ( an )  heißt   ????   :   ⇔    am  >  an  für alle   n > m

Was steht an der Stelle der Fragezeichen?

    a)   Tiefpunkt

    b)   Hochpunkt

    c)   Irgendetwas anderes

  Zur Kontrolle    oder zur   nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 8:
Noch einmal die Folge der natürlichen Zahlen   1, 2, 3, 4, 5, ...

Welche Behauptungen sind richtig?

    a)    1 ist ein Tiefpunkt

    b)    Jeder Punkt ist ein Tiefpunkt

    c)    Es gibt keine Tiefpunkte

    d)    1 ist ein Hochpunkt

  Zur Kontrolle    oder zur   nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 9:
Jetzt stellen wir uns eine Folge mit einem Tiefpunkt  -2  und einem Hochpunkt  +2  vor (solche Folgen gibt es!)

Diese Folge ist zwingend

     a)    beschränkt

     b)    monoton;

     c)    mit Häufungspunkt

     d)    konvergent

  Zur Kontrolle    oder zur   nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Frage 10:
Gleich ist es geschafft! Was stimmt?

    a)   Es gibt konvergente Folgen, bei denen der Grenzwert gleichzeitig Hochpunkt ist

    b)   Wenn eine Folge unendlich viele Hochpunkte hat, so bilden diese eine monoton fallende Teilfolge

  Zur Kontrolle    oder zur   Auswertung

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 1:
Die Kreuze gehören zu a), c) und e):

Man gelangt zu Teilfolgen, wenn man Folgenglieder streicht, es müssen nur unendlich viele Glieder übrig bleiben. Verboten ist es, die Reihenfolge der Glieder zu verändern.

Damit sind die Folgen in a), c) (es gibt unendlich viele Primzahlen) und e) (auch wenn nichts gestrichen wird) Teilfolgen.

Keine Teilfolgen sind b), denn die Zahl 1 kommt in der Ausgangsfolge nur einmal vor, und d), weil hier die Reihenfolge der Folgenglieder verändert wurde.

zurück zur Frage      zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 4:
b) ist richtig:

Wir führen die Behauptung auf die Grenzwertsätze zurück:

Sei  ( a )  eine divergente,  ( b )  eine konvergente Folge und  ( c ) := ( a ) - ( b )

Wäre  ( c )  konvergent, dann müsste auch  ( a) = ( c ) + ( b )  konvergent sein, ein Widerspruch zur Voraussetzung.

zurück zur Frage      zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 2:
Es gibt genau  5  Teilfolgen:

Wir geben alle Teilfolgen an:

  1.   1, 2, 2, 1, 1 1, ...    (Jede Folge ist selbst Teilfolge)

  2.   2, 2, 1, 1, 1, 1, ...

  3.   2, 1, 1, 1, 1, 1, ...

  4.   1, 2, 1, 1, 1, 1, ...

  5.   1, 1, 1, 1, 1, 1, ...

zurück zur Frage      zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 8:
a) und b) waren anzukreuzen:

Grob gesprochen ist jeder Tiefpunkt (Hochpunkt) kleiner (größer) als jedes weitere Folgenglied.

1 ist kleiner als jedes andere Folgenglied, also Tiefpunkt, a) ist richtig.

Jedes   ist kleiner als jedes Folgenglied danach, also auch Tiefpunkt, b) ist richtig.

Da wir schon zwei Tiefpunkte kennen, ist c) natürlich falsch.

d) ist falsch, denn es gibt (immer wieder) Folgenglieder, die größer als  1  sind.

zurück zur Frage      zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 10
Beides stimmt:

zurück zur Frage      zur Auswertung

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 3:
Die Aussage ist wahr:

Sollte man/frau auf jeden Fall wissen:

Es handelt sich um eine Teilaussage der hoffentlich bekannten Grenzwertsätze, mit Beweis in jedem einführenden Lehrbuch über Analysis zu finden (oder im Skript).

zurück zur Frage       zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 7:
Das Kreuzgehört zu b):

 

Die Definition  am  >  an  für alle   n > m   besagt umgangssprachlich:

Alle Folgenglieder mit größerem Index als  am  sind kleiner als  am.

Die "Höhe" von  am  wird im Lauf der Folge nie mehr erreicht, also liegt ein Hochpunkt vor.

zurück zur Frage      zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 6:
Kreuz bei a):

Sehen wir uns eine ganz spezielle streng monoton fallende Folgen an:

   1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5,  1/6,  ...     ( also  ( 1/n ) )

Diese Folge ist  beschränkt ( alle Glieder liegen zwischen 0  und  1 ), besitzt den
Häufungspunkt  0  (der gleichzeitig Grenzwert ist), und ist – da konvergent – eine Cauchyfolge.

Damit ist a) richtig, b) und c) sind falsch.

zurück zur Frage         zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 5:
Kreuze bei b) und d):

a) und c) sind falsch: 1, 2, 3, 4, .... ist streng monoton wachsend, hat aber keinen Hä:ufungspunkt und ist auch nicht konvergent.

Da jede Folge höchstens einen Grenzwert hat, ist d) trivialerweise richtig.

Zu b): Wenn eine monotone Folge einen Häufungspunkt hat, ist sie nach einem hoffentlich bekannten Satz konvergent. Damit hat sie aber auch höchstens einen Häufungspunkt.

zurück zur Frage             zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Antwort zur Frage 9:
Kreuze bei a) und c):

Wir erledigen b) und d) durch ein Gegenbeispiel: -2, 2, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ... hat  2  als Hoch- und  -2  als Tiefpunkt, ist aber weder monoton, noch konvergent.

Zu a) und c): Eine Folge mit den verlangten Eigenschaften besitzt nur endlich viele Folgenglieder, die größer als  2  (Hochpunkt) oder kleiner als  -2  (Tiefpunkt) sind. Das größte (kleinste) dieser endlich vielen ist eine obere (untere) Schranke der Folge. Damit ist sie beschränkt.
Nach  Bolzano - Weierstraß  besitzt jede beschränkte Folge einen Häufungspunkt.

zurück zur Frage             zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





 
 
Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
-----
Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 

zurück zur ersten Frage         zum Fragenkatalog

 
 
 
 
 
 
 


© H J Samaga, 09.02.01 / 07.05.01 / 22.09.05