Eine Funktion  f : IR  →  IR  heißt  stetig  an der Stelle  a :  ⇔ 

     a)    Für jede Folge  ( x_n )  gilt  f ( x_n )  →  f ( a ) 

     b)    Für jede Folge  x_n  →  a  gilt  f ( x_n ) = f ( a )

     c)    Es gibt genau eine Folge  x_n  →  a  mit  f ( x_n )  →  f ( a )

     d)    Für jede Folge  f ( x_n )  →  f ( a )  gilt  x_n   →  a

     e)    Für jede Folge  x_n  →  a  gilt  f ( x_n )  →  f ( a )

Bitte die richtigen Behauptungen ankreuzen!

Wahr       oder   Falsch   ?

Die Funktion  f : IR  →  IR, definiert durch  f (x) = | x | + 1 , ist an der Stelle  a = 1  stetig

Wahr       oder   Falsch   ?

Wenn eine Funktion auf zwei Intervallen  A  und  B  (Teilmengen von  IR ) stetig ist, dann auch auf  A ∪ B.

     a)    f  ist in 0 stetig.

     b)    f  ist in 1 stetig.

     c)    f  ist eine stetige Funktion.

     d)    f  ist eine unstetige Funktion.

Wahr       oder   Falsch   ?

Wenn eine Funktion auf ganz  IR  definiert ist, kann sie nicht nur in genau einem Punkt stetig sein.

  (1)   Für alle  a, b > 0  und für alle  y ∈ IR  mit  | x₀ − y | < a   folgt   | f (x₀) − f (y)| < b

  (2)   Es gibt  a, b > 0 , so dass für alle  y ∈ IR  mit  | x₀ − y | < a   folgt   | f (x₀) − f (y)| < b

  (3)   Zu jedem  b > 0  gibt es ein  a > 0 , so dass für alle  y ∈ IR  mit  | x₀ − y | < a   folgt   | f (x₀) − f (y)| < b

  (4)   Es gibt ein  b > 0 , so dass für alle  a > 0 und für alle  y ∈ IR  mit  | x₀ − y | < a   folgt   | f (x₀) − f (y)| < b

Bitte die entsprechende Zahl  1, 2, 3 oder 4  (ohne Klammern) in das richtige Kästchen eintragen:

 f  beschränkt   ⇔   ( )    bzw.    f  konstant   ⇔   ( )    bzw.    f  stetig in einem Punkt   ⇔   ( )

Welche der folgenden Behauptungen sind richtig?

     a)    Es gibt ein  x ∈ [0,2]  mit  f (x) = 1 .

     b)    Es gibt ein  y ∈ [0,2]  mit  f (1) = y .

     c)    Es gibt ein  x ∈ [0,2]  mit  f (x) = x .

     d)    f  ist injektiv.

     a)    Die Summe zweier stetiger Funktionen ist stets stetig.

     b)    Die Summe zweier unstetiger Funktionen ist stets unstetig.

     c)    Die Summe einer stetigen und einer unstetigen Funktion ist stets unstetig.

     d)    Das Produkt einer stetigen und einer unstetigen Funktion kann stetig sein.

     a)    f  ist eine stetige Funktion.

     b)    f ( D ) = D .

     c)    D  ist ein Intervall.

     d)    Es ist  D = [a,b]  mit  f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 .

   ∀ &epsilon > 0   &exist &delta > 0 :   &forall x ∈ IR  mit   | x − x₀ | < &delta  gilt   | f (x) − f (x₀ | < &epsilon

Wir untersuchen die Funktion  f , gegeben durch  f (x) = x  für  x ≤ 0  und  f (x) = 1 − x  für  x > 0.

Welche der folgenden Behauptungen stimmen?

     a)    Mit  &epsilon = 1  kann die Stetigkeit in  x₀ = 1  gezeigt werden.

     b)    Mit  &epsilon = 1  kann die Unstetigkeit in  x₀ = 0  gezeigt werden.

     c)    Mit  &epsilon = ½  kann die Unstetigkeit in  x₀ = 0  gezeigt werden.

Da  f  eine auf einem Intervall stetige Funktion ist, sind die Voraussetzungen für den  Zwischenwertsatz  erfüllt. Dies bedeutet insbesondere, dass jeder Wert zwischen  0 = f (2)  und  2 = f (0)  angenommen wird, also ist a) richtig.

Um c) einzusehen, betrachten wir die Funktion  f − id . Wegen  ( f − id ) (0) = 2 > 0  und  ( f − id ) (2) = −2 < 0  sind die Voraussetzungen für den  Nullstellensatz  erfüllt, und aus  ( f − id )(x) = 0  folgt  f (x) = x .

b) und d) sind falsch. Dies kann man an der Funktion  f (x) = −2x² + 3x + 2  erkennen: Hier ist  f (½) = f (1) = 3.

Das Kreuz an die richtige Stelle zu machen war einfach (deshalb auch nur einen Punkt). Aber wie sieht es mit einem Beweis aus?

Kurze Beweisskizze:

Sei  (x_n) eine beliebige Folge, die gegen  a = 1  konvergiert. Für  f (x_n)  gilt dann  f (x_n) = |x_n| + 1 .

Auf Grund der Grenzwertsätze konvergiert  f (x_n)  gegen   | 1 | + 1 = f (1).

(1) besagt, dass das Bild jeder reellen Zahl beliebig nahe an  f (x₀)  herankommt. Damit werden  konstante  Funktonen beschrieben.

(2) besagt nur, dass die Funktion in einer Umgebung von  x₀  beschränkt ist, über die Funktion insgesamt erfährt man nichts (auch nicht über Stetigkeit).

(3) ist mit unüblichen Buchstaben das hoffentlich bekannte Kriterium für  Stetigkeit in einem Punkt.

(4) besagt, dass Bild jeder reellen Zahl nie weiter als  b  von  f (x₀)  entfernt ist. Hierdurch wird Beschränktheit charakterisiert.

a) Summe, Differenz und Produkt von stetigen Funktion sind immer stetig. Diese grundlegende Aussage findet man in jedem Analysislehrbuch oder im Skript.

b) Unstetigkeitsstellen können sich aufheben: Wenn  f  unstetig ist, dann auch  −f , aber  f + ( −f )  ist die stetige Nullfunktion.

c) Indirekter Beweis: Wäre  f+g  für stetiges  f  und unstetiges  g  stetig, müsste nach a) auch  ( f+g ) + ( − f ) = g  stetig sein, Widerspruch.

d) Kann passieren, Beispiel: Unstetige Funktion multipliziert mit stetiger Nullfunktion ergibt die stetige Nullfunktion.

Wir geben ein Gegenbeispiel an:

Die reelle Funktion  f , gegeben durch  f (x ) = x  für rationale Zahlen und  f (x ) = −x  für irrationale Zahlen ist genau im Nullpunkt stetig und sonst nirgendwo.

Gehen wir die Behauptungen durch:

a) und b)   Für jede Folge  ( x_n )  gilt  f ( x_n )  →  f ( a )  bzw.  f ( x_n ) = f ( a ) :   Falsch – dies gilt nur für konstante Funktionen 

c)   Es gibt genau eine Folge  x_n  →  a  mit  f ( x_n )  →  f ( a ) :  Falsch – dies muss für  jede  Folge  x_n  →  a  gelten!

d)   Für jede Folge  f ( x_n )  →  f ( a )  gilt  x_n   →  a :  Falsch – sonst wären streng monotone Funktionen mit Sprungstellen stetig.

e)   Für jede Folge  x_n  →  a  gilt  f ( x_n )  →  f ( a ) :   RICHTIG ! !

Da  f  an der Stelle  0  nicht definiert ist, erübrigt sich die Frage nach stetig oder unstetig, kein Kreuz bei a).

In jedem Punkt des Definitionsbereichs ist die Funktion stetig, damit sind b) und c) richtig und d) ist falsch.

a):   Weil Stetigkeit nie durch Untersuchung eines einzigen  &epsilon  festgestellt werden kann, gehört an diese Stelle kein Kreuz, obwohl die Funktion in  x₀ = 1 stetig ist.

b) und c):   Um Unstetigkeit an einer Stelle  x₀  nachzuweisen, muss die  &epsilon  –  &delta  –  Bedingung widerlegt werden. Es ist zu zeigen

   ∃ &epsilon > 0 :   ∀ &delta > 0   ∃ x ∈ IR  mit  | x − x₀ | < &delta  und  | f (x) − f (x₀ | ≥ &epsilon

Im vorliegenden Fall klappt das an der Stelle  x₀ = 0  mit  &epsilon = ½ , aber nicht mit   &epsilon = 1 :

Für  &epsilon = 1  ist die  &epsilon  –  &delta  –  Bedingung "gerade noch" erfüllt, wir wählen  &delta = 1.
Für alle  x ∈ IR  mit  | x − x₀ | < &delta = 1  gilt -1 < x < 1. Wegen  | f (x) − f (x₀ | = | x |  (falls -1 < x ≤ 0) oder  | f (x) − f (x₀ | = | 1 − x |  (falls 0 < x < 1) folgt für diese  x  stets  | f (x) − f (x₀ | < 1 = ε .

Für  &epsilon = ½  funktioniert die  &epsilon  –  &delta  –  Bedingung nicht mehr:
Zu beliebigem  δ > 0  sei  x = min{δ/2, 1/3} . Dann ist  | x − x₀ | = min{δ/2, 1/3} < δ  und  | f (x) − f (x₀ | ≥  2/3  >  ε = ½ .

Wir geben ein Gegenbeispiel an:

Auf dem Intervall  A = [0,1[  sei  f (x) = 0 , auf  B = [1,2[  sei  f(x) = 1.

Diese Funktion ist auf jedem der Intervalle stetig, aber auf der Vereinigung  [0,2]  als Definitionsmenge nicht, denn für  a = 1  gilt:

Jede konvergente Folge, die sich ihrem Grenzwert 1 "von links" nähert, hat als Bildfolge die konstante Nullfolge, aber es ist  f (1) = 1, und dies ist nicht der Grenzwert der Nullfolge. (Man mache sich den Sachverhalt an einer Skizze klar)

Der Nullstellensatz lautet: Sei  f : [ a, b ]  →  IR  stetig mit  f (a) < 0 < f (b)  (oder umgekehrt). Dann besitzt  f  mindestens eine Nullstelle in   ] a,b[.

Die Bedingungen a) und c) gehören also offensichtlich zu den Voraussetzungen des Satzes.

b) ist für den  Fixpunktsatz  wichtig, aber nicht für den  Nullstellensatz .

d) enthält verklausuliert die Voraussetzung  f (a) < 0 < f (b)  (oder umgekehrt) und ist deshalb ebenfalls notwendig.