In den ersten fünf Fragen geht es um reelle Funktionen   f: IR  →  IR, dies wird nicht jedesmal extra erwähnt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden wir manchmal unpräzise von einer Funktion  f (x)  (statt von f ) reden.
 

 
Frage 1
Fangen wir ganz harmlos an:

Die Funktion   f ( x ) =  x - 1  ist 

   a)  injektiv
   b)  surjektiv
   c)  bijektiv
  Erst ankreuzen:     a):      b):     c): 
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Frage 2
Da  f ( x ) =  x - 1  bijektiv ist, gibt es eine Umkehrfunktion   f-1.

Für welche Zahlen  a  und  b  gilt  f -1( x ) = a x+ b  ?
 
  Erst die richtigen Zahlen für  a  und  b  eintippen:  a =   ,     b =  
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Frage 3
Wir wollen die Verkettung (Hintereinanderausführung) von Abbildungen üben.

Seien  f(x) =  2 x + 1  und  g(x)= x + 3.

Wahr oder falsch?

Für alle reellen Zahlen  x  gilt

( f  °  g ) (x)   >  ( g  °  f ) (x)
 

( Hinweis: Mit    ( f  °  g ) (x)    ist    ( f  ( g (x) )    gemeint ) 
 
  Erst ankreuzen:     Wahr:      Falsch: 
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Frage 4
Wahr   oder   falsch?
 

Wenn   f  und   g  injektive Funktionen sind, ist auch    f + g ,  definiert durch

( f + g )( x )  :=  f  ( x ) +   g ( x )

injektiv
 
  Erst ankreuzen:     Wahr:      Falsch: 
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Frage 5:
Und noch einmal    wahr  oder  falsch?
 

Wenn   f  und   g  injektive Funktionen sind, ist auch die Verkettung    f  °  g ,  definiert durch

( f  °  g )( x )  : =  f ( g ( x ) )

injektiv
 
  Erst ankreuzen:     Wahr:      Falsch: 
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Frage 6
Ab jetzt geht es um Abbildungen zwischen beliebigen Mengen   A  und   B .

Was weiß man über  A  und  B, wenn eine bijektive Abbildung  f : A →  B existiert?
 

  a)  Es muss   A =  B  gelten

  b)  A  und   B  müssen gleichmächtig sein.
 
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Frage 7
Wenn eine bijektive Abbildung  f: A →  B  existiert, müssen   A  und  B  gleichmächtig sein.
Was kann aber trotzdem gelten?

  a)  A  kann eine echte Teilmenge von  B  sein

  b)  B  kann eine echte Teilmenge von  A  sein

  Erst ankreuzen:     a):      b): 
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Frage 8
Jetzt geht es um Abbildungen   f : A → A ,  wobei  A  eine endliche Menge sein soll mit  | A |  vielen Elementen.

Die Anzahl aller bijektiven Abbildungen ist

  a)   2|A|

  b)  |A| !

  c)   |A|2

  d)   1 + 2 + ... + |A|

 
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Frage 9
Es seien   A, B  und  C   Mengen mit   | A | = | B | = | C | = n  und   f : A → B  und  g: B → C  bijektive Funktionen.

Wieviele Bijektionen   g °  f  gibt es insgesamt?

  a):   n !

  b):   Mehr als  n !

  c):   Weniger als  n !
 
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Frage 10
Wenn  f : A  →  B  eine injektive, aber nicht surjektive und  g : B  →  C  eine surjektive, aber nicht injektive Abbildung ist, dann ist  g °  f

a)  auf jeden Fall injektiv

b)  auf jeden Fall surjektiv

c)  eventuell injektiv

d)  eventuell surjektiv
 
  Erst ankreuzen:     a):      b):     c):    d): 
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Antwort zur Frage 1:                                                          a), b) und c) sind richtig:
a)   f (x)  =  f(y)   ⇔    x - 1 =  y - 1     ⇔    x = y       Von "links nach rechts" gelesen, ist dies ein Beweis für die Injektivität.

b)  Zu jeder reellen Zahl  x  ist  x + 1  ein Urbild:    f ( x + 1 ) =   ( x + 1) - 1 =  x ,  also ist die Abbildung surjektiv.

c)  Wegen  " injektiv  +  surjektiv   =  bijektiv "  muss auch  c)  angekreuzt werden.
 

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Antwort zur Frage 5: 
Die Behauptung ist  wahr, eine kurze Beweisskizze:

( f  °  g )( x )  =  ( f  °  g )( y )      ⇔      f  ( g ( x ) ) =  f  ( g (y ) )

Wegen der Injektivität von  f  folgt hieraus   g ( x )  =   g ( y )

Wegen der Injektivität von  g  folgt hieraus     x  =  y

 
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Antwort zur Frage 2:                        Richtig: a = 1,   b = 1 
Nebenrechnung:    y = x - 1    ⇔    x = y +1

Die Umkehrfunktion ist daher   f -1( x) = x + 1 ,  also   a = b = +1.
 

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Antwort zur Frage 9                Kreuz bei  a):
Hoffentlich nicht irritieren lassen:

Die Anzahl aller Bijektionen zwischen zwei Mengen mit   n  Elementen ist natürlich   n!

 

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Antwort zur Frage 4:       Falsch:
Falsch, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt:

Die Funktionen  f ( x ) = x  und  g ( x ) =  - x   sind bijektiv und damit injektiv, aber

( f + g )( x ) =  f  ( x )+  g ( x )  =  x - x =  0

ist ganz sicher nicht injektiv!
 

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Antwort zur Frage 8:                Nur b) ist anzukreuzen:

Obwohl für   | A |  = 1  auch  c) und  d)  und für   | A |  = 3  auch  d)  richtige Zahlen liefern, wird nur  b)  als korrekt anerkannt:

Die Anzahl aller bijektiven Abbildungen einer Menge mit  n Elementen ist  n!
 

 
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Antwort zur Frage 7:              Kreuze bei a) und b):
Diese Frage ist ganz einfach zu beantworten, wenn man beispielsweise an die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen denkt:

Die Mengen der rationalen Zahlen  Q  ist abzählbar. Es gibt also eine Bijektion von  IN  nach  Q  (und damit ist deren Umkehrfunktion eine Bijektion von  Q  nach  IN ). Diese Abbildungen sind Beispiele für a) bzw. b).

Wem das immer   noch zu kompliziert ist:  Die Menge der ganzen Zahlen ist eine echte Teilmenge der geraden ganzen Zahlen, die Abbildung  f( z ) := 2 z  ist eine Bijektion zwischen diesen Mengen.
 

 

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Antwort zur Frage 10:                     Kreuz bei c) und d):
Wenn   f : A  →  B   eine injektive, aber nicht surjektive und   g : B  →  C   eine surjektive, aber nicht injektive Abbildung ist, dann kann    g °  f   alles Mögliche sein:

Im ersten Fall ist  g °  f   bijektiv, im zweiten Fall  weder injektiv noch surjektiv.
 

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Antwort zur Frage 6:   a) ist falsch, b) richtig:
Ein unmathematisches Gegenbeispiel zu a):  Ich kann meine zehn Finger sicherlich bijektiv auf die Menge meiner zehn Zehen abbilden, aber die Menge meiner Finger ist natürlich verschieden von der Menge meiner Zehen.

b) ist richtig, genau so ist gleichmächtig definiert.

 

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Antwort zur Frage 3:      Die Behauptung ist richtig:

Gegeben sind  f(x) =  2 x + 1   und  g(x) = x + 3.

Für alle reellen Zahlen  x  gilt dann

( f  °  g ) ( x )  =   f ( g ( x ))  =  f ( x + 3) =  2 ( x + 3 ) + 1  =  2 x + 7 

( g  °  f ) ( x )  =   g( f  ( x ))  =  g ( 2 x + 1)  =  ( 2 x +1) + 3  =  2 x + 4  =   ( f  °  g ) ( x ) - 3

Damit ist  ( f  °  g ) ( x )  stets größer als  ( g  °  f ) ( x ).
 
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Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
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Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 
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H. J. Samaga, 23.11.00 / zuletzt geändert 25.05.05