Aufgabe 1: [4 P.]
Die Tangenswerte der drei Winkel eines Dreiecks seien ganze Zahlen. Welche sind dies?

Aufgabe 2: [5 P.]
Ist es wahr, dass man auf der Kurve y = x³ einen Punkt A und auf der Kurve ys = x3 + |x| + 1 einen Punkt B so finden kann, dass der Abstand |AB| £ 0,01 ist?

Aufgabe 3: [5 P.]
In einer streng aufsteigenden Folge positiver ganzer Zahlen teilt ab der 2002.ten jede Zahl der
Folge die Summe aller vorhergehenden Folgenglieder. Beweisen Sie, dass von einer Stelle an .jedes
Folgenglied gleich der Summe aller vorhergehenden Zahlen ist.

Aufgabe 4: [5 P.]
Eine Gruppe von Theaterbesuchern hat zwar alle Plätze einer Reihe gekauft, aber nimmt zufällig
Platz. Der Platzanweiser kann zwei nebeneinander sitzenden Besucher die Plätze tauschen lassen
(auch wiederholt), wenn beide auf  falschen Plätzen sitzen. Hat aber jemand seinen richtigen Platz
bereits eingenommen, so tauscht er ihn nicht mehr. Ist es nun möglich, dass der Platzanweiser
nach dieser Methode .jedem den richtigen Platz zuweisen kann, egal welche Plätze zu Beginn
eingenommen wurden, sofern nur bekannt ist, dass anfangs keiner auf seinem richtigen Platz saß?

Aufgabe 5:  [6 P.]
Es seien A₁, B₁ und C₁ die Fußpunkte der Höhen in einem spitzwinkligen Dreieck ABC. Ferner
seien O_A, O_B und O_C die Mittelpunkte der Inkreise der Dreiecke AB₁C₁, BC₁A₁ und CA₁B₁.
Schließlich seien T_A, T_B und T_C die Punkte, wo der Inkreis des Dreiecks ABC die Seiten BC, CA
und AB berührt. Beweisen Sie, dass alle Seiten des Sechsecks T_AO_CT_BO_AT_CO_B gleichlang sind.

Aufgabe 6:  [7 P.]
52 Spielkarten enthalten von jeder Farbe (Kreuz, Pik, Herz oder Karo) 13 Werte (As, König, ...Bube, zehn, neun, ..., zwei. Sie sind auf einem Tisch als 4 x 13 Rechteck angeordnet. Es ist bekannt, dass je zwei Karten, die nebeneinander oder übereinander angeordnet sind, entweder von der gleichen Farbe sind oder den gleichen Wert haben, also beides Asse oder beides Könige oder usw. beides Zweien sind. Zeigen Sie, dass dann alle 13 Karten einer Reihe von der gleichen Farbe sind.

Aufgabe 7:  [8 P.]
Gibt es zwei irrationale Zahlen a und b, die beide > 1 sind, so dass [a^m] niemals gleich [bⁿ] ist für
beliebige positive ganze Zahlen m, n? Hierbei bezeichnet [x] den ganzzahligen Anteil von x, also
die größte ganze Zahl, die £ x ist.

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5  Stunden.