Aufgaben für die Mittelstufe
Aufgabe 1: [4 P.]
Es bezeichnen a, b, c die Seitenlängen eines Dreiecks. Beweise
die Ungleichung a3 + b3 + 3abc > c3.
Aufgabe 2: [4 P.]
Vier
Spielsteine (zwei weiße und zwei schwarze) befinden sich auf einem
23 x 23-Spielbrett: zu
Beginn des Spiels ist der eine weiße oben links, der andere weiße
Stein unten rechts, die beiden
schwarzen Steine sind unten links und oben rechts positioniert. Die
weißen und die schwarzen
Steine werden abwechselnd gezogen, wobei weiß beginnt. Bei jedem
Zug wird ein Stein auf ein
daneben oder darunter bzw. darüber liegendes benachbartes Feld
geführt, sofern es frei ist. Weiß
hat gewonnen, wenn es zwei nebeneinanderliegende Felder besetzt.
Kann dies schwarz verhindern'?
Aufgabe 3: [6 P.]
In einem
konvexen Viereck AB CD bezeichnen B bzw. F die
Mittelpunkte der Seiten BC, bzw.
CD. Die Strecken AB, AF, BF zerlegen das Viereck
in vier Dreiecke, deren Flächeninhalte (in
irgendeiner Reihenfolge) vier aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind.
Wie groß kann der Flächen-
inhalt des Dreiecks ABD maximal werden'?
Aufgabe 4: [7 P.]
n Glühlampen
befinden sich in einer Reihe. Zu Beginn brennen einige von ihnen. Am Ende
jeder Minute werden alle brennenden Lampen ausgeschaltet, während
jede ausgeschaltete Lampe eingeschaltet wird, sofern sie vorher neben genau
einer brennenden Lampe positioniert war. Für welches n ist
es möglich eine Ausgangskonfiguration so zu finden, dass jederzeit
mindestens eine Lampe brennt?
Aufgabe 5: [7 P.]
Ein spitzwinkliges Dreieck wird geradlinig in zwei Teile zerschnitten
(nicht notwendig durch einen
Eckpunkt). Eines der beiden Teile wird wiederum geradlinig in zwei
Teile zerschnitten, u.s.w.:
bei jedem Schritt wird eines der vorhandenen Teile ausgewählt
und wiederum geradlinig in zwei Teile
zerschnitten. Nach einer Reihe von Schritten stellt sich heraus, dass
alle so erhaltenen Teile
Dreiecke sind. Können alle diese Dreieck stumpfwinklig sein?
Aufgabe 6: [7 P.]
In einer
streng monoton steigenden Folge positiver ganzer Zahlen teilt ab der 2002-ten
jede Zahl
der Folge die Summe aller vorhergehenden Folgenglieder. Beweise, dass
von einer Stelle an .jedes
Folgenglied gleich der Summe aller vorhergehenden Zahlen ist.
Aufgabe 7: [8 P.]
Gegeben ist eine Kette von Dominosteinen, angeordnet nach den
üblichen Regeln. Du darfst folgende Operation durchführen: Finde
eine Teilkette mit gleichen Anfangs und End-Augenzahlen, löse
sie heraus, drehe sie als Ganzes um 180° und füge sie wieder ein.
Zeige, dass es durch diese Operationen stets möglich ist, zwei beliebige
Ketten aus den gleichen Sätzen von Dominosteinen ineinander überzuführen,
sofern beide Ketten mit der gleichen Augenzahl beginnen und auch beide
mit der gleichen Augenzahl enden.
An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.