22. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb, Herbst 2001

Aufgaben für die Mittelstufe

(Zu den Aufgaben der Oberstufe )


Aufgabe 1. [3 P.]
In jedes der 16 Felder eines 4 x 4-Quadrats wird eine Zahl geschrieben. Wenn man die Zahlen aller Nachbarfelder eines beliebigen Feldes addiert, so ergibt sich immer 1. (Dabei heißen zwei Felder benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben.) Wie groß ist die Summe aller 16 eingetragenen Zahlen?
 

Aufgabe 2: [3 P.]
ABCD sei ein Parallelogramm, M der Mittelpunkt der Seite CD und H der Fußpunkt des Lotes von B auf die Gerade durch AM. Zeige, dass das Dreieck BCH gleichschenklig ist.
 

Aufgabe 3:
a.) [2 P.]
Auf einer Tafel werden einhundert verschiedene Zahlen geschrieben. Zeige, dass man aus ihnen stets acht Zahlen so auswählen kann, dass ihr arithmetisches Mittel nicht das arithmetische Mittel von neun der angeschriebenen Zahlen sein kann. (Unter dem arithmetischen Mittel von n Zahlen a1, ..., an versteht man den Wert  .)
b) [2 P.]
Auf eine Tafel werden einhundert ganze Zahlen geschrieben. Es ist bekannt, dass man zu je acht Zahlen stets neun Zahlen so finden kann, dass das arithmetische Mittel der acht Zahlen gleich dem arithmetischen Mittel der neun Zahlen ist. Zeige, dass dann alle einhundert Zahlen gleich groß sein müssen.
 

Aufgabe 4: [5 P.]
Es ist bekannt, dass sich unter 32 gleich aussehenden Münzen zwei Falschmünzen befinden. Alle echten Münzen haben das gleiche Gewicht, die beiden falschen Münzen wiegen auch gleich viel, weichen aber von dem Gewicht der echten Münzen ab. Wie kann man die Münzen in zwei gleichschwere Haufen aufteilen, wenn man mit einer Balkenwaage höchstens vier Wägungen durchführen darf?
 

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Bleistift, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name,
Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Die Punktzahl pro Aufgabe ist in eckigen Klammern angegeben.
Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.