21. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb
November 1999

Aufgaben für die Oberstufe
( ---> Mittelstufe )

Der Wettbewerb hat bereits stattgefunden. Zulässige Hilfsmittel: Schreibzeug, Papier
und Zeichengeräte. Die Aufgaben können bei Binnendifferenzierung gut im normalen Unterricht von interessierten Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden: 

Aufgabe 1: [4 P.]
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks wird mit den Eckpunkten verbunden. Dadurch wird das Dreieck in drei kleinere Dreiecke zerlegt. Es stellt sich nun heraus, dass eines dieser kleineren Dreiecke zu dem gegebenen Dreieck ähnlich ist.
Finden Sie die Winkel dieses Dreiecks.

Aufgabe 2: [4 P.]
Zeigen Sie, dass es unendlich viele ungerade Zahlen n gibt, so dass die Zahl

2n + n
zusammengesetzt ist. (Eine natürliche Zahl m heißt zusammengesetzt, fals sie einen Teiler d mit 
1 < d < m besitzt.)

Aufgabe 3: [4 P.]
n Geraden sind so in einer Ebene gezeichnet, dass jede Gerade genau 1999 andere Geraden schneidet. Finden Sie alle möglichen Werte von n.

Aufgabe 4: [4 P.]
Ist es möglich, auf der Zahlengerade 50 Intervalle (auch überlappend) so zu wählen, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
a) Die Intervallängen sind 1, 2, 3, ..., 50.
b) Die Endpunkte der Intervalle sind genau die Zahlen von 1 bis 100.

Aufgabe 5: [4 P.]
Auf einem Tisch liegen gleichartige Spielkarten im Formal 1 x 2. Auf jeder Karte ist eine Diagonale eingezeichnet. Es gibt zwei Sorten von Karten, da man die Diagonalen ja auf zwei verschiedene Weisen zeichnen kann. Von jeder Sorte gibt es beliebig viele Karten. Aus 32 Karten kann man ein 8 x 8 - Quadrat legen.
Ist es möglich, 32 Karten so auszuwählen, dass die Endpunkte der Diagonalen niemals übereinstimmen?

Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Arbeitszeit: 4,5 Stunden.

Auskunft:

Erstellt am 25.11.99
Zum Angebot der Beratungsstelle Mathematik               Zu den Wettbewerben