Aufgabe 1: (4 P.)
Ein konvexes Polyeder schwimmt im Wasser. Kann es passieren, dass 90% seines Volumens unterhalb der Wasseroberfläche liegt, während mehr als die Hälfte seiner Oberfläche aus dem Wasser ragt?

Aufgabe 2: (4 P.)
Es sei ABCD ein einem Kreis mit Mittelpunkt O einbeschriebenes konvexes Viereck. Ferner sei F der zweite Schnittpunkt der beiden Umkreise um die Dreiecke ABO und CDO. Zeigen Sie, dass der Kreis durch A, F und D auch durch den Schnittpunkt der Strecken AC und BD geht..

Aufgabe 3: (5 P.)
Finden Sie alle Paare (x;y) ganzer Zahlen, die folgende Bedingung erfüllen: sowohl x³ + y als auch y³ + x sind durch x² + y² teilbar.

Aufgabe 4: (4 P.)
Eine Kreisscheibe wird durch n Durchmesser in 2n gleichgroße Segmente unterteilt. Die Hälfte der Sektoren wird blau, die andere Hälfte rot gefärbt (in beliebiger Reihenfolge). Die blauen Sektoren werden nun im Uhrzeigersinn durchnummeriert, die roten Sektoren ebenso, nur im entgegengesetzten Sinn. Zeigen Sie, dass es stets einen Halbkreis gibt, der exakt die Zahlen von 1 bis n enthält.

Aufgabe 5:
Für jede nicht-negative Zahl i wird eine Zahl M(i) definiert durch: Man schreibe i als Binärzahl, also als Folge von Nullen und Einsen. Ist dabei dir Anzahl der Einsen gerade, so setze man M(i) = 0, andererseits setze man M(i) = 1. Die (M(i)) beginnt so: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ...

a) (2 P.) Betrachten Sie die endliche Folge M(0), M(1), ..., M(1000). Zeigen Sie, dass es
darunter mindestens 320 Terme gibt, die mit ihrem Nachfolger übereinstimmen:
M(i) = M(i+1).

b) (5 P.) Betrachten Sie die endliche Folge M(0), M(1), ..., M(1 000 000). Zeigen Sie, dass
es darunter mindestens 450 000 Terme gibt, die die Gleichung M(i) = M(i+7) erfüllen.

Aufgabe 6: (6 P.)
Ein Turm (beim Schachspiel) durchläuft alle Felder eines 8x8-Schachbretts genau einmal und erreicht nach 64 Zügen wieder sein Ausgangsfeld. Ein Zug des Turms endet also auf dem horizontal oder vertikal benachbarten Feld. Zeige, dass dabei die Anzahl der horizontalen Züge nicht gleich der vertikalen Züge sein kann.

Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Arbeitszeit: 4,5 Stunden.

• Klaus Sielaff
• Prof. Dr. Helmut Müller
• Dr. Wolfgang Löding
• Amt für Schule

Erstellt am 15.04.98
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