20. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb
April 1999
Aufgaben für die Mittelstufe
( ---> Oberstufe )
Aufgabe 1: (3
P.)
Auf einem Konto befinden sich $500. Zwei Operationen sind erlaubt:
man kann entweder $300 abheben oder $198 einzahlen. Diese Operationen mann
man beliebig oft wiederholen, allerdings ohne das Konto zu überziehen.
Welches ist der größte Betrag, den man abheben kann? Wie kann
man dies erreichen?
Aufgabe 2: (4 P.)
Es sei O der Schnittpunkt der Diagonalen in dem Parallelogramm ABCD.
Zeige, dass der Kreis durch die Punkt B, C und O die Strecke CD tangieren
muss, falls der Kreis durch die Punkte A,
B und O die Strecke BC tangiert.
Aufgabe 3: (4 P.)
Zwei Spieler spielen folgendes Spiel: Der erste Spieler schreibt
an eine Tafel die Ziffer 0 oder 1. Danach fügt er solange eine 0 oder
eine 1 rechts an, bis schließlich 1999 Ziffern dastehen. Der zweite
Spieler darf sich nach jedem Zug (mit Ausnahme des allerersten) seines
Gegenspielers zwei beliebige angeschriebene Ziffern aussuchen und sie verändern.
Kann der zweite Spieler sicherstellen, dass nach seinem allerletzten Zug
die Folge der 1999 Ziffern symmetrisch ist?
Aufgabe 4: (6 P.)
Eine Kreisscheibe wird durch n Durchmesser in 2n gleichgroße
Segmente unterteilt. Eine Hälfte der Sektoren wird blau, die andere
rot gefärbt (in beliebiger Reihenfolge). Die blauen Sektoren werden
nun im Uhrzeigersinn von 1 bis n durchnummeriert, die roten Sektoren ebenso,
nur im entgegengesetzten Sinn. Zeige, dass es stets einen Halbkreis gibt,
der exakt die Zahlen von 1 bis n enthält.
Aufgabe 5: (6 P.)
In einem Dreieck ABC berühre der Inkreis die Seite AB im Punkt
P und die Seite AC im Punkt Q. Der Mittelpunkt der Seite BC sei S, der
von AC sei R. Die Geraden durch PQ und RS schneiden sich in einem Punkt
T. Zeige, dass T auf der Winkelhalbierenden des Winkels bei B liegt.
Aufgabe 6: (9 P.)
Ein Turm (beim Schachspiel) durchläuft alle Felder eines 8x8-Schachbretts
genau einmal und erreicht nach 64 Zügen wieder sein Ausgangsfeld.
Ein Zug des Turms endet also auf dem horizontal oder vertikal benachbarten
Feld. Zeige, dass dabei die Anzahl der horizontalen Züge nicht gleich
der vertikalen Züge sein kann.
Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Arbeitszeit: 4,5 Stunden.
Auskunft:
Erstellt am 15.04.98
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