19. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb
Herbst 1997

Aufgaben für die Oberstufe
( ---> Mittelstufe )

Der Wettbewerb hat bereits stattgefunden. Zulässige Hilfsmittel: Schreibzeug, Papier
und Zeichengeräte. Die Aufgaben können bei Binnendifferenzierung gut im normalen Unterricht von interessierten Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden:
Aufgabe 1:
a) Welches ist die kleinste Anzahl von Geraden, die alle Quadrate eines 3x3-Schachbretts schneiden? Zeichne eine solche Konfiguration und beweise, daß keine kleinere Anzahl von
Geraden dazu ausreicht. (Ein Quadratfeld wird erst dann von einer Geraden geschnitten, wenn
diese durch innere Punkte des Quadrats geht.)

b) Gleiche Aufgabenstellung für das 4x4-Schachbrett.

Aufgabe 2:
Es seien a und b zwei Seiten eines Dreiecks. Wie kann die dritte Seite c gewählt werden, so daß
die Berührungspunkte des Inkreises und des Ankreises von c die Seite c in drei gleichlange Abschnitte zerlegen? (Der Ankreis von c berührt die Seite c und die Verlängerungen der Seiten a und b.)

Aufgabe 3:
Zeigen Sie, daß die Gleichung

xy(x - y) + yz (y - z) + zx(z - x) = 6

unendlich viele Lösungen in ganzen Zahlen x, y, z besitzt.

Aufgabe 4:
Welches ist die größtmögliche Anzahl von Springern, die man auf einem 5x5-Schachbrett unterbringen kann, ohne daß sie sich gegenseitig schlagen? Zeigen Sie, daß dies nur auf genau
eine Weise möglich ist.

Auskunft:

Erstellt am 19.12.97
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