Uni 
HH Logo

Vorlesung & Übung Mathematische Logik & Mengenlehre
SS 2018
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik

LV-Nummer (Modul WP24) 65-155
Veranstalter: Prof. Dr. Benedikt Löwe, email: bloewe@science.uva.nl
Inhalt:

Mathematik ist eine deduktive Wissenschaft: Aussagen werden nicht durch Beobachtung oder Experimente verifiziert, sondern in axiomatischen Systemen bewiesen. Wir gehen davon aus, dass bewiesene Sätze wahr sind, aber ist auch jeder wahre Satz in einem geeigneten Axiomensystem beweisbar? Und wenn ja, wie entscheiden wir, welches Axiomensystem "geeignet" ist?

Die mathematische Logik beschäftigt sich mit Grundlagenfragen zur mathematischen Methode, der sogenannten Metamathematik. Sie gibt präzise mathematische Definitionen für grundlagentheoretische Begriffe wie "wahr", "formales System" und "beweisbar" und beweist, dass formale Beweisbarkeit in einem axiomatischen System gleichbedeutend mit Wahrheit in allen Strukturen, die diese Axiome erfüllen, ist (der sogenannte Gödelsche Vollständigkeitssatz).

Nachdem man die Grundlagen der axiomatischen Methode gelegt hat, kann man die Mathematik in einem geeigneten grundlagentheoretischen System einfangen: das übliche Axiomensystem für dieses Unterfangen ist die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre, die wir dann im zweiten Teil der Vorlesung genauer untersuchen werden.

Klausur: Die Klausur wird am 18. Juli 2018 stattfinden. Um zur Klausur zugelassen zu werden, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  1. schriftliche Bearbeitung von mindestens der Hälfte der Übungsaufgaben;
  2. regelmäßige Anwesenheit und aktive Teilnehme in der Übungsgruppe (aktive Teilnahme beinhaltet Vorrechnen an der Tafel).
Ort & Zeit: Vorlesung: Dienstag 16:05-17:35 H1, Mittwoch 16:00-17:30 H3. Übung: Mittwoch 14:15-15:45 Geom 432.
Ablauf:
Dienstag, 3. April 2018 Erste Vorlesung. Der Zusammenhang zwischen Logik und Mengenlehre. Abstrakte Mathematik und metaphysische Probleme: die Motivation für eine einheitliche Grundlage der Mathematik, die ontologische Fragen adäquat beantwortet. Georg Cantor und die Protagonisten der Mengenlehre: Kardinalzahlen und Ordinalzahlen. Cantors Theorem: es gibt keine Surjektion von einer Menge X auf ihre Potenzmenge (mit Beweis). Theorem von Cantor-Bendixson: jede überabzählbare abgeschlossene Menge reeller Zahlen enthält eine nichtleere perfekte Menge (mit Beweisskizze). Das Komprehensionsprinzip.
Dienstag, 4. April 2018 Zweite Vorlesung. Russell's Paradox. Alphabete und Zeichenketten. Das Alphabet einer Sprache erster Stufe. Signaturen un Stelligkeiten. Terme und Termableitungen. Induktion über den Termaufbau.

Übungsblatt #1 (Abgabe: 11. April 2018).
Dienstag, 10. April 2018 Dritte Vorlesung. Formelableitungen und Formeln. Induktion über den Formelaufbau. Rekursion über Term- und Formelaufbau.

17 Uhr: Habilitationsvortrag Dr. Yurii Khomskii im Rahmen des Kolloquiums für Reine Mathematik: Definability and the Structure of the Real Line
Mittwoch, 11. April 2018 Vierte Vorlesung. Beispiele für rekursiv definierte Funktionen: die Variablenmenge, die Menge der freien Variablen. Semantik: Strukturen, Belegungen, Interpretationen. Interpretation eines Terms. Interpretation einer Formel.

Übungsblatt #2 (Abgabe: 18. April 2018).
Dienstag, 17. April 2018 Fünfte Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii). Sätze. Semantische Folgerungsbeziehung. Allgemeingültigkeit. Erfüllbarkeit. Logische Äquivalenz. Koinzidenzlemma (ohne Beweis). Isomorphismen und das Isomorphielemma (erste Hälfte des Beweises). (Tafelbild der fünften Vorlesung.)
Mittwoch, 18. April 2018 Sechste Vorlesung. Isomorphielemma (zweite Hälfte des Beweises). Elementare Einbettungen, elementare Äquivalenz. Isomorphismen sind elementare Einbettungen. Einbettungen, quantorenfreie Formeln. Einbettungen erhalten quantorenfreie Formeln. Sätze, die die endliche Mächtigkeit der zugrundeliegenden Menge bestimmen. Elementar äquivalente endliche Strukturen müssen die gleiche Mächtigkeit haben.

Übungsblatt #3 (Abgabe: 25. April 2018).
Dienstag, 24. April 2018 Vorlesung fällt aus.
Mittwoch, 25. April 2018 Siebte Vorlesung.
Dienstag, 1. Mai 2018 Maifeiertag
Mittwoch, 2. Mai 2018 Achte Vorlesung.
Dienstag, 8. Mai 2018 Neunte Vorlesung.
Mittwoch, 9. Mai 2018 Zehnte Vorlesung.
Dienstag, 15. Mai 2018 Elfte Vorlesung.
Mittwoch, 16. Mai 2018 Zwölfte Vorlesung.
Dienstag, 22. Mai 2017 Pfingstpause
Mittwoch, 23. Mai 2018 Pfingstpause
Dienstag, 29. Mai 2018 Dreizehnte Vorlesung.
Mittwoch, 30. Mai 2017 Vierzehnte Vorlesung.
Dienstag, 5. Juni 2018 Fünfzehnte Vorlesung.
Mittwoch, 6. Juni 2018 Sechzehnte Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii).
Dienstag, 12. Juni 2018 Siebzehnte Vorlesung.
Mittwoch, 13. Juni 2018 Achtzehnte Vorlesung.
Dienstag, 19. Juni 2018 Neunzehnte Vorlesung.
Mittwoch, 20. Juni 2018 Zwanzigste Vorlesung.
Dienstag, 26. Juni 2018 Einundzwanzigste Vorlesung.
Mittwoch, 27. Juni 2018 Zweiundzwanzigste Vorlesung.
Dienstag, 3. Juli 2018 Dreiundzwanzigste Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii).
Mittwoch, 4. Juli 2018 Vierundzwanzigste Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii).
Dienstag, 10. Juli 2018 Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Mittwoch, 11. Juli 2017 Q&A für die Klausur.
Mittwoch, 18. Juli 2017 Klausur. 13:15-15:00 (105 Minuten).

Last changed: 18 April 2018