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Vorlesung & Übung Mathematische Logik & Mengenlehre
SS 2018
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik

LV-Nummer (Modul WP24) 65-155
Veranstalter: Prof. Dr. Benedikt Löwe, email: bloewe@science.uva.nl
Inhalt:

Mathematik ist eine deduktive Wissenschaft: Aussagen werden nicht durch Beobachtung oder Experimente verifiziert, sondern in axiomatischen Systemen bewiesen. Wir gehen davon aus, dass bewiesene Sätze wahr sind, aber ist auch jeder wahre Satz in einem geeigneten Axiomensystem beweisbar? Und wenn ja, wie entscheiden wir, welches Axiomensystem "geeignet" ist?

Die mathematische Logik beschäftigt sich mit Grundlagenfragen zur mathematischen Methode, der sogenannten Metamathematik. Sie gibt präzise mathematische Definitionen für grundlagentheoretische Begriffe wie "wahr", "formales System" und "beweisbar" und beweist, dass formale Beweisbarkeit in einem axiomatischen System gleichbedeutend mit Wahrheit in allen Strukturen, die diese Axiome erfüllen, ist (der sogenannte Gödelsche Vollständigkeitssatz).

Nachdem man die Grundlagen der axiomatischen Methode gelegt hat, kann man die Mathematik in einem geeigneten grundlagentheoretischen System einfangen: das übliche Axiomensystem für dieses Unterfangen ist die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre, die wir dann im zweiten Teil der Vorlesung genauer untersuchen werden.

Klausur: Die Klausur wird am 18. Juli 2018 stattfinden. Um zur Klausur zugelassen zu werden, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  1. schriftliche Bearbeitung von mindestens der Hälfte der Übungsaufgaben;
  2. regelmäßige Anwesenheit und aktive Teilnehme in der Übungsgruppe (aktive Teilnahme beinhaltet Vorrechnen an der Tafel).
Ort & Zeit: Vorlesung: Dienstag 16:05-17:35 H1, Mittwoch 16:00-17:30 H3. Übung: Mittwoch 14:15-15:45 Geom 432.
Ablauf:
Dienstag, 3. April 2018 Erste Vorlesung. Der Zusammenhang zwischen Logik und Mengenlehre. Abstrakte Mathematik und metaphysische Probleme: die Motivation für eine einheitliche Grundlage der Mathematik, die ontologische Fragen adäquat beantwortet. Georg Cantor und die Protagonisten der Mengenlehre: Kardinalzahlen und Ordinalzahlen. Cantors Theorem: es gibt keine Surjektion von einer Menge X auf ihre Potenzmenge (mit Beweis). Theorem von Cantor-Bendixson: jede überabzählbare abgeschlossene Menge reeller Zahlen enthält eine nichtleere perfekte Menge (mit Beweisskizze). Das Komprehensionsprinzip.
Dienstag, 4. April 2018 Zweite Vorlesung. Russell's Paradox. Alphabete und Zeichenketten. Das Alphabet einer Sprache erster Stufe. Signaturen un Stelligkeiten. Terme und Termableitungen. Induktion über den Termaufbau.

Übungsblatt #1 (Abgabe: 11. April 2018).
Dienstag, 10. April 2018 Dritte Vorlesung. Formelableitungen und Formeln. Induktion über den Formelaufbau. Rekursion über Term- und Formelaufbau.

17 Uhr: Habilitationsvortrag Dr. Yurii Khomskii im Rahmen des Kolloquiums für Reine Mathematik: Definability and the Structure of the Real Line
Mittwoch, 11. April 2018 Vierte Vorlesung. Beispiele für rekursiv definierte Funktionen: die Variablenmenge, die Menge der freien Variablen. Semantik: Strukturen, Belegungen, Interpretationen. Interpretation eines Terms. Interpretation einer Formel.

Übungsblatt #2 (Abgabe: 18. April 2018).
Dienstag, 17. April 2018 Fünfte Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii). Sätze. Semantische Folgerungsbeziehung. Allgemeingültigkeit. Erfüllbarkeit. Logische Äquivalenz. Koinzidenzlemma (ohne Beweis). Isomorphismen und das Isomorphielemma (erste Hälfte des Beweises). (Tafelbild der fünften Vorlesung.)
Mittwoch, 18. April 2018 Sechste Vorlesung. Isomorphielemma (zweite Hälfte des Beweises). Elementare Einbettungen, elementare Äquivalenz. Isomorphismen sind elementare Einbettungen. Einbettungen, quantorenfreie Formeln. Einbettungen erhalten quantorenfreie Formeln. Sätze, die die endliche Mächtigkeit der zugrundeliegenden Menge bestimmen. Elementar äquivalente endliche Strukturen müssen die gleiche Mächtigkeit haben.

Übungsblatt #3 (Abgabe: 25. April 2018).
Dienstag, 24. April 2018 Vorlesung fällt aus.
Mittwoch, 25. April 2018 Siebte Vorlesung. Definierbarkeit von Mengen in S-Strukturen. Nichtdefinierbarkeit von N in (R,≤) und in (R,≤,+). Die Sprache der Mengenlehre LST und LST-Strukturen (gerichtete Graphen). Extensionalität und das Extensionalitätsaxiom. Das Komprehensionsschema: positive Konsequenzen (Existenz der leeren Menge, Existenz der Einermenge der leeren Menge), negative Konsequenzen (Russells Paradox). Das Leeremengenaxiom, das Einermengenaxiom, das Paarmengenaxiom. Gütigkeit der Axiome in einigen einfachen gerichteten Graphen. Teilmengen in gerichteten Graphen.

Übungsblatt #4 (Abgabe: 2. Mai 2018).
Dienstag, 1. Mai 2018 Maifeiertag
Mittwoch, 2. Mai 2018 Achte Vorlesung. Das Potenzmengenaxiom. Das binäre Vereinigungsaxiom. Modelle von (Leer), (Ext), (Paar) können nicht endlich sein. Konstruktion eines Graphenmodells für (Paar), in dem (Pot) und (BinVer) nicht gelten. Das Aussonderungsschema.

Übungsblatt #5 (Abgabe: 9. Mai 2018).
Dienstag, 8. Mai 2018 Neunte Vorlesung. (Aus) impliziert, dass es keine universelle Menge gibt (äquivalent: dass der Graph kein maximales Element hat). Lokal endliche Graphen als Modelle der Mengenlehre. Das Graphenmodell für (Paar) erfüllt (Aus). Ein Graphenmodell für (Pot), welches alle bisherigen Axiome erfüllt, aber immer noch lokal endlich ist. Das Vereinigungsaxiom und sein Zusammenhang mit dem binären Vereinigungsaxiom. Induktive Mengen und eine intuitive Formulierung des Unendlichkeitsaxioms.
Mittwoch, 9. Mai 2018 Zehnte Vorlesung. Redukte. Definitionserweiterungen: Relationssymbole, Konstantensymbole, Funktionssymbole.

Übungsblatt #6 (Abgabe: 16. Mai 2018).
Dienstag, 15. Mai 2018 Elfte Vorlesung. Das Axiomensystem FST und Definitionen von Konstanten und Funktionen in FST: leere Menge, Vereinigung, Schnitt, kartesisches Produkt, Relationen, Funktionen. Induktive Mengen und das Unendlichkeitsaxiom. Existenz einer kleinsten induktiven Menge, bezeichnet als N. Transitivität von Mengen. Eigenschaften von N: N und seine Elemente sind transitiv und durch die Elementrelation strikt linear geordnet.
Mittwoch, 16. Mai 2018 Zwölfte Vorlesung. Eigenschaften der Ordnung (N,⊆): 0 ist das kleinste Element, die Ordnung ist diskret, 0 ist der einzige Nichtnachfolger, jede nichtleere Teilmenge hat ein kleinstes Element. Fundiertheit und Wohlordnungen. Der Rekursionssatz für Funktionen von N nach N.

Übungsblatt #7 (Abgabe: 30. Mai 2018).
Dienstag, 22. Mai 2017 Pfingstpause
Mittwoch, 23. Mai 2018 Pfingstpause
Dienstag, 29. Mai 2018 Dreizehnte Vorlesung. Grassmann-Rekursionsgleichungen: rekursive Definitionen für Addition und Multiplikation. Begriffe der Endlichkeit und Unendlichkeit und grundlegende Eigenschaften. Gleichmächtigkeit. Dedekind-Endlichkeit. Jede endliche Menge ist Dedekind-endlich. Synthetische Definitionen für Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen.
Mittwoch, 30. Mai 2017 Vierzehnte Vorlesung. Rekursionssatz auf den natürlichen Zahlen, Version 2. Die Konstruktion eines Modells von FST in der Mengenlehre Z mit Hilfe des Rekursionssatzes. Funktionale Formeln und das Ersetzungsschema. Rekursionssatz auf den natürlichen Zahlen, Version 3. Anwendung: Mengen, die größer sind als Iterationen von Potenzmengenoperationen. Partielle und lineare Ordnungen, Fundiertheit, Wohlordnungen. Ordnungssumme und -produkt.

Übungsblatt #8 (Abgabe: 5. Juni 2018).
Dienstag, 5. Juni 2018 Fünfzehnte Vorlesung. Wohlordnungen erfüllen das Prinzip der Ordnungsinduktion. Anfangssegmente und echte Anfangssegmente in Wohlordnungen. Ordnungserhaltende Abbildung und Isomorphismen und ihre Eigenschaften. Fundamentalsatz über Wohlordnungen.
Mittwoch, 6. Juni 2018 Sechzehnte Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii). Ordinalzahlen. Eigenschaften von Ordinalzahlen: α∉α, Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen, Schnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen, lineare Ordnung von Ordinalzahlen. Ordinalzahlen sind die durch sie selbst definierten Anfangssegmente. Nachfolgerordinalzahlen. Vereinigungen von Mengen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen. Es gibt keine Menge aller Ordinalzahlen. Überabzählbare Ordinalzahlen: der Satz von Hartogs. Darstellungssatz für Wohlordnungen: jede Wohlordnung ist isomorph zu einer eindeutig bestimmten Ordinalzahl. Limesordinalzahlen. (Tafelbild der sechzehnten Vorlesung.)

Übungsblatt #9 (Abgabe: 13. Juni 2018).
Dienstag, 12. Juni 2018 Siebzehnte Vorlesung. Die Ordinalzahlen formen eine klassengroße Wohlordnung. Charakterisierung von Limesordinalzahlen. Transfinite Induktion und transfinite Rekursion. Rekursive Definitionen auf der Klasse der Ordinalzahlen. Ordinalzahladdition: rechtsseitige (strikte) Monotonie, Assoziativität.
Mittwoch, 13. Juni 2018 Achtzehnte Vorlesung. Ordinalzahladdition: linksseitige Monotonie, Nichtkommutativität, rechtsseitige Subtraktion. Synthetische Definition der Ordinalzahladdition und Äquivalenz zur rekursiven Definition (mit Beweis). Ordinalzahlmultiplikation: Definition, Eigenschaften, Nichtkommutativität, einige Rechenbeispiele. Rechtsseitige Division mit Rest (ohne Beweis). Synthetische Definition der Ordinalzahlmultiplikation und Äquivalenz zur rekursiven Definition (ohne Beweis). Ordinalzahlexponentiation: Definition. Ordinalzahlen als kanonische Repräsentanten von Ordnungstypen; Suche nach kanonischen Repräsentanten in den Gleichmächtigkeitsklassen einer Menge: falls X eine endliche Menge ist, so gibt es eine eindeutige Ordinalzahl α, die zu X gleichmächtig ist.

Übungsblatt #10 (Abgabe: 20. Juni 2018).
Dienstag, 19. Juni 2018 Neunzehnte Vorlesung. Die Ordinalzahlen ω und ω1 sind kleinste Ordinalzahlrepräsentanten für ihre Gleichmächtigkeitsklassen. Verallgemeinerter Satz von Hartogs: für jede Menge gibt es eine Ordinalzahl, die nicht in diese Menge injektiv eingebettet werden kann. Definition des Hartogs-Alephs: ℵ(X). Kardinalzahlen. Satz von Cantor-Schröder-Bernstein (ohne Beweis). Die ℵα: Beweis, daß ℵλ eine Kardinalzahl ist. Auswahlfunktionen und das Auswahlaxiom. ZFC. Zermeloscher Wohlordnungssatz. Äquivalenz zum Auswahlaxiom.
Mittwoch, 20. Juni 2018 Zwanzigste Vorlesung. Kardinalitäten in ZFC. Kardinalzahlarithmetik: Addition, Multiplikation, Exponentiation. Gerade und ungerade Ordinalzahlen. Beweis, daß κ+κ = κ. Satz von Hessenberg (ohne Beweis). Kardinalzahlexponentiation mit kurzer historischer Übersicht über das Kontinuumsproblem und seine Unlösbarkeit. Das Regularitätaxiom: Nichtexistenz unendlicher absteigender Ketten. Satz über die ∈-Induktion. Definition der von Neumann-Hierarchie.

Übungsblatt #11 (Abgabe: 27. Juni 2018).
Dienstag, 26. Juni 2018 Einundzwanzigste Vorlesung.
Mittwoch, 27. Juni 2018 Zweiundzwanzigste Vorlesung.
Dienstag, 3. Juli 2018 Dreiundzwanzigste Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii).
Mittwoch, 4. Juli 2018 Vierundzwanzigste Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii).
Dienstag, 10. Juli 2018 Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Mittwoch, 11. Juli 2017 Q&A für die Klausur.
Mittwoch, 18. Juli 2017 Klausur. 13:15-15:00 (105 Minuten).

Last changed: 20 June 2018