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Vorlesung & Übung Vertiefung: Algebraische Strukturen
SS 2018
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik

LV-Nummer (Modul M-LPSI/LS-VAZ-V) 65-353
Veranstalter: Prof. Dr. Benedikt Löwe, email: bloewe@science.uva.nl
Inhalt:

Für Leibniz waren die mathematische Argumentation und das mathematische Rechnen das Idealbild des rationalen Diskurses: er schlug mit seinem Aufruf calculemus! vor, Meinungsverschiedenheiten durch Berechnung aufzulösen, indem man die Fragen in Mathematik übersetzt und dann durch eine Rechnung objektiv beantwortet. In den darauffolgenden Jahrhunderten kam man diesem Leibnizschen Ideal immer näher: heutzutage sind Maschinen in der Lage, viele Argumentationen nachzuvollziehen, zu überprüfen, und auch selbst durchzuführen.

In dieser Vorlesung wollen wir die mathematischen Grundlagen dieser Entwicklung betrachten: wir fangen mit der aus der Vorlesung Grundlagen der Mathematik bekannten Aussagenlogik an und entwickeln den Begriff der algebraischen Struktur und seine grundlegenden theoretischen Eigenschaften. Danach betrachten wir eine besondere algebraische Struktur, die sogenannten Booleschen Algebren, und untersuchen den Zusammenhang zwischen Aussagenlogik und diesen Algebren.

Im letzten Teil der Vorlesung betrachten wir andere Systeme des Argumentierens, wie z.B. die aristotelische Syllogistik oder intensionale Logiken als algebraische Strukturen.

Klausur: Die Klausur wird am 16. Juli 2018 stattfinden. Um zur Klausur zugelassen zu werden, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  1. schriftliche Bearbeitung von mindestens der Hälfte der Übungsaufgaben;
  2. regelmäßige Anwesenheit und aktive Teilnehme in der Übungsgruppe (aktive Teilnahme beinhaltet Vorrechnen an der Tafel).
Ort & Zeit: Vorlesung: Montag 14-16 H6. Übung: Gruppe 1 Mittwoch 16-17 Geom 241 (Florian Gut). Gruppe 2 Mittwoch 17-18 Geom 241 (Florian Gut).
Ablauf:
Montag, 9. April 2018 Erste Vorlesung. Das Leibnizsche calculemus: Arithmetisierung und Automatisierung von Argumentation. Aristotelische Syllogistik. Der vereinfachte Leibnizkalkül für die Syllogistik. Potenzmengenalgebren. Begriffsalgebren.

Übungsblatt #1 (Präsenzaufgaben für die Übung am 11. April 2018).
Übungsblatt #2 (Abgabe: 18. April 2018): Studentische Lösungen.
Montag, 16. April 2018 Zweite Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii). Das logische Quadrat: Begriffe "konträr", "subkonträr", "kontradiktorisch", "subaltern". Das logische Sechseck. Wiederholung Aussagenlogik. Wahrheitstafeln. Tautologien.

Tafelbild der zweiten Vorlesung.
Übungsblatt #3 (Präsenzaufgabe für die Übung am 18. April 2018 und Hausaufgaben zur Abgabe am 25. April 2018): Studentische Lösungen.
Montag, 23. April 2018 Dritte Vorlesung. Begriffe und ihr Informationsgehalt. Binäre Relationen: Reflexivität, Transitivität, Anti-Symmetrie, Linearität. Partielle Ordungen. Lineare Ordnungen. Unterordnungen. Die duale Ordnung. Hasse-Diagramme und ihre Interpretation. Der reflexiv-transitive Abschluß einer Relation.

Übungsblatt #4 (Präsenzaufgabe für die Übung am 25. April 2018 und Hausaufgaben zur Abgabe am 2. Mai 2018). Studentische Lösungen.
Montag, 30. April 2018 Vierte Vorlesung. Hasse-Diagramme beschreiben partielle Ordnungen. Ordnungserhaltende Abbildungen und Isomorphismen. Ketten und Antiketten. Größte, kleinste, maximale und minimale Elemente. Obere und untere Schranken. Kleinste obere und größte untere Schranken.

Übungsblatt #5 (Präsenzaufgabe für die Übung am 2. Mai 2018 und Hausaufgaben zur Abgabe am 9. Mai 2018). Musterlösungen.
Montag, 7. Mai 2018 Fünfte Vorlesung. Beispiele von kleinsten oberen und größten unteren Schranken und von partiellen Ordnungen, in denen diese nicht existieren. Verbände: partielle Ordnungen, in denen für je zwei Elemente eine kleinste obere und eine größte untere Schranke existieren. Jede lineare Ordnung ist ein Verband. Jede Mengenalgebra ist ein Verband. Operationen auf partiellen Ordnungen: disjunkte Vereinigung und Summe.

Übungsblatt #6 (Abgabe: 16. Mai 2018). Studentische Lösungen.
Montag, 14. Mai 2018 Sechste Vorlesung. Endliche Verbände haben größte und kleinste Elemente (unendliche nicht notwendigerweise). Die Verbände Mn. Das Verbindungslemma. Assoziativität und Kommutativität der disjunkten Vereinigung. Assoziativität und Nichtkommutativität der Summe. Produkte partieller Ordnungen. Die n-fache Potenz der Ordnung 2 ist isomorph zur Potenzmengenalgebra über einer n-elementigen Menge.

Übungsblatt #7 (Abgabe: 30. Mai 2018). Studentische und Musterlösungen.
Montag, 21. Mai 2018 Pfingstmontag
Montag, 28. Mai 2018 Siebte Vorlesung. Abgeschlossenheit von Klassen partieller Ordnungen unter den drei Operationen disjunkte Vereinigung, Summe und Produkt: lineare Ordnungen, Antiketten, Ordnungen mit kleinstem oder größtem Element, Verbände. Algebraische Notation für kleinste obere und größte untere Schranken (∨ und ∧). Wiederholung des Verbindungslemmas in der neuen algebraischen Notation. Algebraische Gleichungen, die in Verbänden gelten: Kommutativität, Assoziativität, Idempotenz und Absorption.

Übungsblatt #8 (Abgabe: 6. Juni 2018). Studentische Lösungen.
Montag, 4. Juni 2018 Achte Vorlesung. Verbandsstrukturen und Äquivalenz von Verbänden und Verbandsstrukturen: jeder Verband definiert eine Verbandsstruktur und jede Verbandsstruktur definiert einen Verband. Unterverbände mit Beispielen: eine Unterordnung eines Verbandes kann ein Verband sein, ohne ein Unterverband zu sein. Verbandsisomorphismen und ihre Charakterisierung als Ordnungsisomorphism. Vollständige Verbände: jeder endliche Verband ist vollständig und (Z,≤) ist nicht vollständig. Satz von Knaster-Tarski (ohne Beweis).

Übungsblatt #9 (Abgabe: 13. Juni 2018). Studentische Lösungen.
Montag, 11. Juni 2018 Neunte Vorlesung. Vollständige Verbände haben größte und kleinste Elemente. Beispiele für unendliche nicht-vollständige Verbände. Endliche Teilmengen in Verbänden mit kleinstem und größtem Element haben Infima und Suprema; also sind endliche Verbände vollständig. Der Potenzmengenverband jeder Menge ist vollständig: Beispiele unendlicher vollständiger Verbände. Beweis des Satzes von Knaster & Tarski. Anwendungen: Banachscher Zerlegungssatz und Satz von Schröder-Bernstein (ohne Beweise).

Übungsblatt #10 (Abgabe: 20. Juni 2018).
Montag, 18. Juni 2018 Zehnte Vorlesung. Beweise des Banachschen Zerlegungssatz und des Satz von Schröder-Bernstein. Diskussion der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen: Diagonalisierungsargument liefert eine Injektion von Q nach N; Schröder-Bernstein erlaubt es uns, eine Bijektion zu finden. Begriffe, die durch Gleichungen definiert sind.

Übungsblatt #11 (Abgabe: 27. Juni 2018).
Montag, 25. Juni 2018 Elfte Vorlesung.
Montag, 2. Juli 2018 Zwölfte Vorlesung.
Montag, 9. Juli 2018 Dreizehnte Vorlesung.
Mittwoch, 16. Juli 2017 Klausur. 14:15-16:00 (105 Minuten).

Last changed: 20 June 2018