Vergleich von Normen

Von Interesse ist insbesondere die Äquivalenz von Normen. Nach Definition der Äquivalenz zweier Normen soll gelten, dass:

c | | v | | \leq | | v | |^{'} \leq C | | v | |

für alle

v \in R^{2}

. Zu gegebenen festen Faktoren

c, C > 0

zeichnen wir noch die folgenden Kreise ( in rot-orange und in gelb-orange ):

S_{1} = {v \in R^{2} | | | v | | = 1 / C}

S_{2} = {v \in R^{2} | | | v | | = 1 / c}

Eine kleine Überlegung zeigt, dass die Bedingung in der Definition der Äquivalenz genau dann erfüllt ist, wenn

S_{1}

vollständig in dem Einheitskreis

S^{'}

der Norm

| | ∙ | |^{'}

liegt und

S^{'}

wiederum vollständig in

S_{2}

p

-Norm:

| | v | |_{p} = \sqrt[p]{| v_{1} |^{p} + | v_{2} |^{p}}

mit

p = 1, 2, 3, 10

xxxxxxxxxx
 
#(c) Vincenz Busch
# [edit] Jens Kwasniok May 2016
​
var('x, y')
​
# Die Namen der Normen der Auswahl
norm_names = ['1-Norm','2-Norm','3-Norm','10-Norm','Maximumsnorm']
​
# Gibt die Norm entsprechend des Names zurueck
def get_norm(keyword):
​
    if keyword == '1-Norm':
        return abs(x)+abs(y)
    elif keyword == '2-Norm':
        return sqrt(abs(x)^2+abs(y)^2)
    elif keyword == '3-Norm':
        return (abs(x)^3+abs(y)^3)^(1/3)
    elif keyword == '10-Norm':
        return (abs(x)^10+abs(y)^10)^(1/10)
    elif keyword == 'Maximumsnorm':
        return max_symbolic(abs(x),abs(y))
​
@interact
def _(norm1 = selector(norm_names, default='1-Norm', label="$||\ ||' = $"),
      norm2 = selector(norm_names, default='2-Norm', label="$||\ || = $"),
          c = input_box(default=1, label='$c = $', width=10),
          C = input_box(default=2, label='$C = $', width=10)):
​
    n1(x,y) = get_norm(norm1)
    n2(x,y) = get_norm(norm2)
​
    if c*n2(1,0)<=n1(1,0) and c*n2(1,1)<=n1(1,1) and n1(1,0)<=C*n2(1,0) and n1(1,1)<=C*n2(1,1):
        pretty_print(html("Sie haben ein passendes $c$ und $C$ gefunden."))
    else:
        pretty_print(html("Leider haben Sie noch kein passendes $c$ und $C$ gefunden."))
​
    # Es werden die Einheitskreise abgebildet
    image = Graphics()
    # Der Faktor frame_size stelt sicher, dass alle Einheitskreise vollstaendig abgebildet werden.
    frame_size = 1.1 * max(n1(1,0), n2(1,0)/c, n2(1,0)/C)
    image += implicit_plot(n1(x,y)   -1, (x,-frame_size,frame_size), (y,-frame_size,frame_size), color='blue')
    image += implicit_plot(c*n2(x,y) -1, (x,-frame_size,frame_size), (y,-frame_size,frame_size), color='orange')
    image += implicit_plot(C*n2(x,y) -1, (x,-frame_size,frame_size), (y,-frame_size,frame_size), color='orangered')
    show(image, axes_labels=['$x_1$','$x_2$'])