Von Interesse ist insbesondere die Äquivalenz von Normen. Nach Definition der Äquivalenz zweier Normen soll gelten, dass: $c||v|| \leq ||v||' \leq C||v||$ für alle $v \in \mathbb{R}^2$. Zu gegebenen festen Faktoren $c,C \gt 0 $ zeichnen wir noch die folgenden Kreise ( in rot-orange und in gelb-orange ):
$$S_1 = \{ v \in \mathbb{R}^2 | \ ||v|| = 1/C \}$$ $$S_2 = \{ v \in \mathbb{R}^2 | \ ||v|| = 1/c \}$$
Eine kleine Überlegung zeigt, dass die Bedingung in der Definition der Äquivalenz genau dann erfüllt ist, wenn $S_1$ vollständig in dem Einheitskreis $S'$ der Norm $||∙||'$ liegt und $S'$ wiederum vollständig in $S_2$.
Wie klein müssen Sie $c$ wählen und wie groß $C$? Probieren Sie es aus!
Die Begriffe in der Auswahl bedeuten für $v \in \mathbb{R}^2$:
$p$-Norm: $||v||_p = \sqrt[p]{|v_1|^p+|v_2|^p}$ mit $p=1,2,3,10$
Maximumsnorm: $||v||_{max} = max\{|v_1|,|v_2|\}$
Diese Animation wurde von Vincenz Busch im Rahmen eines Projekts zur Verbesserung der Lehre im Lehrlabor des Universitätskollegs der Universität Hamburg erarbeitet. Hamburg, Januar 2013. (überarbeitet Mai 2016)
Dieses Vorhaben wird innerhalb des gemeinsamen Bund-Länder-Programms für bessere Studienbedingungen und mehr Qualität in der Lehre aus Mitteln des Bundesministerium für Bildung und Forschung unter dem Förderkennzeichen 01PL12033 gefördert. Die Verantwortung für den Inhalt dieser Veröffentlichung liegt bei den Autor/-innen.