xxxxxxxxxx#(c) Jason Grout/Vincenz Busch# [edit] Jens Kwasniok April 2016#Benoetigte Pakete werden importiertfrom sage.ext.fast_eval import fast_floatfrom functools import partial#Die Variablen werden definiertvar('x y u v')#gezeichnet werden soll der Bereich:(u_range,v_range)=([-5..5],[-5..5])#Die Flaechentransformationsfunktiondef trans(A): #x und y werden in Abhaengigkeit von u und v definiert x = A[0,0]*u+A[0,1]*v y = A[1,0]*u+A[1,1]*v t_min = max(min(u_range),min(v_range)) t_max = min(max(u_range),max(v_range)) #Zuerst wird die uv-Ebene gezeichnet #Der Plot der uv-Ebene wird initialisiert uvplot = Graphics() #Die schmalen roten vertikalen Linien werden gezeichnet uvplot = sum([parametric_plot((i,v), (v,t_min,t_max), color='red',axes_labels=['u','v'],figsize=[5,5]) for i in u_range]) #Die schmalen blauen horizontalen Linien werden gezeichnet uvplot += sum([parametric_plot((u,i), (u,t_min,t_max), color='blue',axes_labels=['u','v']) for i in v_range]) #Die breite rote vertikale Linie wird gezeichnet uvplot += parametric_plot((1, v), (v,t_min,t_max),color='red',thickness=4) #Die breite blaue horizontale Linie wird gezeichnet uvplot += parametric_plot((u,1), (u,t_min,t_max), color='blue',thickness=4) #Das lila Rechteck wird gezeichnet pt = vector([1,1]) du = vector([2,0]) dv = vector([0,2]) uvplot += polygon([pt,pt+dv,pt+du+dv,pt+du],color='purple',alpha=0.7) #Die xy-Ebene wird gezeichnet #Der Plot der uv-Ebene wird initialisiert xyplot = Graphics() #Zur schnelleren Berechnung wird fast_float benutzt #Da die Argumente der Reihenfolge nach abgearbeitet werden #werden 2 Versionen gebraucht xuv = fast_float(x,'u','v') yuv = fast_float(y,'u','v') xvu = fast_float(x,'v','u') yvu = fast_float(y,'v','u') #Die schmalen roten Linien werden gezeichnet xyplot = sum([parametric_plot((partial(xuv,i),partial(yuv,i)), (v,t_min,t_max), color='red', axes_labels=['x','y'],figsize=[5,5]) for i in u_range]) #Die schmalen blauen horizontalen Linien werden gezeichnet xyplot += sum([parametric_plot((partial(xvu,i),partial(yvu,i)), (u,t_min,t_max), color='blue') for i in v_range]) #Die breite rote Linie wird gezeichnet xyplot += parametric_plot((partial(xuv,1),partial(yuv,1)),(v,t_min,t_max),color='red', linestyle='-',thickness=4) #Die breite blaue Linie wird gezeichnet xyplot += parametric_plot((partial(xvu,1),partial(yvu,1)), (u,t_min,t_max), color='blue', linestyle='-',thickness=4) #Das lila Rechteck wird gezeichnet t_vals = [0..1,step=5*.01] vertices = [(x(u=1+t*2,v=1),y(u=1+t*2,v=1)) for t in t_vals] vertices += [(x(u=1+2,v=1+t*2),y(u=1+2,v=1+2*t)) for t in t_vals] vertices += [(x(u=1+2-2*t,v=1+2),y(u=1+2-2*t,v=1+2)) for t in t_vals] vertices += [(x(u=1,v=1+2-2*t),y(u=1,v=1+2-2*t)) for t in t_vals] xyplot += polygon(vertices,color='purple',alpha=0.7) theta = 0 #Falls es eine Spiegelungsmatrix ist, zeichnen wir noch die Spiegelungsgerade ein if A[0,0]==-A[1,1] and A[0,1]==A[1,0] and (abs(A[0,0]^2+A[0,1]^2)-1<10^(-5)): theta = sign(A[0,1].n())*arccos(A[0,0])/2 factor = max(abs(tan(theta)),1) t_min2 = max(min(u_range),min(v_range))/factor t_max2 = min(max(u_range),max(v_range))/factor if (A[0,0]==-1): uvplot += parametric_plot((0, v), (v,t_min,t_max),color='yellow',thickness=4) else: uvplot += parametric_plot((v, v*tan(theta)), (v,t_min2,t_max2),color='yellow',thickness=4) #Die beiden Plots werden ausgegeben show(uvplot) show(xyplot)def matrix_chooser(choice=selector(['Beliebige Matrix','Streckungsmatrix','Drehmatrix','Drehstreckungsmatrix','Spiegelungsmatrix'], default='Beliebige Matrix', label="Beispielarten von Matrizen: ")): if (choice == 'Beliebige Matrix'): #Auswahlfunktion fuer eine beliebige Matrix gefuellt mit Zufallseintraegen zwischen -10 und 10 pretty_print(html("Beliebige Matrix:")) M=[[ceil(20*random())-10,ceil(20*random())-10],[ceil(20*random())-10,ceil(20*random())-10]] def _(A=input_grid(2, 2, default=M, label='$A =$', to_value=matrix,width=5 )): pretty_print(html(r""" Fuer die gewaehlte Matrix $A$ gilt: $\left(\begin{array}{c} x\\y \end{array}\right)= %s\cdot \left(\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right)$ """ % latex(A))) trans(A) elif (choice == 'Streckungsmatrix'): #Auswahlfunktion fuer eine Streckungsmatrix gefuellt mit Zufallseintraegen zwischen -10 und 10 pretty_print(html("Streckungsmatrix:")) a=ceil(20*random())-10 if (a==0) : a=1 def _(r=slider(-10,10,.1,default=a,label='$r = $')): A=matrix([[r,0],[0,r]]) pretty_print(html(r""" Eine Streckungsmatrix hat die Form $\left(\begin{array}{c}r & 0 \\ 0 & r\end{array}\right)$ mit einem Skalierungsfaktor $r \in \mathbb{R}$.""")) pretty_print(html(r""" Fuer das gewaehlte $r$ gilt: $\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)= %s\cdot \left(\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right)$ """ % latex(A))) trans(A) elif (choice == 'Drehmatrix'): #Auswahlfunktion fuer eine Drehmatrix gefuellt mit Zufallseintraegen pretty_print(html("Drehmatrix:")) a=ceil(20*random())/10 def _(theta = slider(0,2*pi,pi/10, default=a, label='$\\theta = $')): A=matrix([[cos(theta),-sin(theta)],[sin(theta),cos(theta)]]) pretty_print(html(r""" Eine Drehmatrix hat die Form $\left(\begin{array}{r} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array}\right)$ mit einem Drehwinkel $0 \leq \theta \leq 2\pi$.""")) pretty_print(html(r""" Fuer das gewaehlte $\theta$ gilt: $\left(\begin{array}{c} x\\y \end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} \cos(%s)&-\sin(%s)\\ \sin(%s) & \cos(%s) \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} u\\v \end{array}\right)$ """ % (latex(theta), latex(theta), latex(theta), latex(theta)))) trans(A) elif (choice == 'Drehstreckungsmatrix'): #Auswahlfunktion fuer eine Drehstreckungsmatrix gefuellt mit Zufallseintraegen pretty_print(html("Drehstreckungsmatrix:")) a=ceil(20*random())/10 b=ceil(20*random())-10 if (b==0): b=1 def _(r=slider(-10,10,1/10.,default=b,label='$r = $'), theta = slider(0,2*pi,pi/10,default=a,label='$\\theta = $')): A=matrix([[r*cos(theta),-r*sin(theta)],[r*sin(theta),r*cos(theta)]]) pretty_print(html(r""" Eine Drehstreckungsmatrix hat die Form $\left(\begin{array}{r} r\cos(\theta)&-r\sin(\theta)\\ r\sin(\theta) & r\cos(\theta) \end{array}\right)$ mit einem Drehwinkel $0 \leq \theta \leq 2\pi$ und einem Skalierungsfaktor $r \in \mathbb{R}$. """)) pretty_print(html(r""" Fuer das gewaehlte $\theta$ und $r$ gilt: $\left(\begin{array}{c} x\\y \end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} %s \cos(%s)&%s \sin(%s)\\ %s \sin(%s) & %s \cos(%s) \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} u\\v \end{array}\right)$ """ % (latex(r), latex(theta), latex(-r), latex(theta), latex(r), latex(theta), latex(r), latex(theta)))) trans(A) elif (choice == 'Spiegelungsmatrix'): #Auswahlfunktion fuer eine Spiegelungsmatrix gefuellt mit Zufallseintraegen pretty_print(html("Spiegelungsmatrix:")) a=ceil(20*random())/10 def _(theta=slider(-pi/2,pi/2,pi/10,default=a-pi/2,label='$\\theta = $')): A=matrix([[cos(2*theta),sin(2*theta)],[sin(2*theta),-cos(2*theta)]]) theta2=2*theta pretty_print(html(r""" Sei $g$ die Gerade (in gelb gezeichnet) durch den Ursprung mit dem Steigungswinkel $\theta$, $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.<br> Die Matrix der Spiegelung an der Geraden $g$ hat die Form $\left(\begin{array}{r} \cos(2\theta) & \sin(2\theta)\\ \sin(2\theta) & -\cos(2\theta) \end{array}\right)$ """)) pretty_print(html(r""" Fuer das gewaehlte $\theta$ gilt: $\left(\begin{array}{c} x\\y \end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} \cos(%s) & -\sin(%s)\\ \sin(%s) & -\cos(%s) \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} u\\v \end{array}\right)$ """ % (latex(theta2),latex(theta2),latex(theta2),latex(theta2)))) trans(A)Diese Animation wurde von Vincenz Busch im Rahmen eines Projekts zur Verbesserung der Lehre im Lehrlabor des Universitätskollegs der Universität Hamburg erarbeitet. Die Animation basiert auf dem Beispiel Coordinate Transformations von Jason Grout. Hamburg, Oktober 2012. (überarbeitet Mai 2016)
Dieses Vorhaben wird innerhalb des gemeinsamen Bund-Länder-Programms für bessere Studienbedingungen und mehr Qualität in der Lehre aus Mitteln des Bundesministerium für Bildung und Forschung unter dem Förderkennzeichen 01PL12033 gefördert. Die Verantwortung für den Inhalt dieser Veröffentlichung liegt bei den Autor/-innen.