Der Gradient

#(c) Vincenz Busch

# [edit] Jens Kwasniok April 2016

​

var('x,y,s,t')

​

#Die Funktion mit dem interact Decorator

@interact

def _(p0 = input_box(default=(0,1),label='$(x_0,y_0) = $',width=10),

      show_graph = checkbox(default=True,label='Graph von $f$ anzeigen')):

​

    #Definition von f

    f = sin(x^2/4+3*x-y)+cos(y^3/9+x^2/4-y+2)

    #Berechnung vom Gradienten

    df = f.gradient()

    #Berechnung des Gradienten an der Staelle (x_0,y_0)

    grad_p0 = df(x=p0[0],y=p0[1])

    #Zur besseren Darstellung normieren wir den Gradienten

    grad_p0 = grad_p0/abs(grad_p0)

    #Berechnung der Ableitung in Richtung des Gradienten an der Stelle (x_0,y_0)

    dfg(x,y) = df*grad_p0

    #Berechung des sichtbaren Bildauschnittes

    xmin = p0[0] - 2*max(abs(grad_p0[0]),abs(grad_p0[1]))

    xmax = p0[0] + 2*max(abs(grad_p0[0]),abs(grad_p0[1]))

    ymin = p0[1] - 2*max(abs(grad_p0[1]),abs(grad_p0[0]))

    ymax = p0[1] + 2*max(abs(grad_p0[1]),abs(grad_p0[0]))

​

    # image_3D soll den 3dimensionalen Graphen samt Gradienten und Schnitt(-ebene) zeigen

    image_3D = Graphics()

    #Falls der Graph von f gezeichnet werden soll, wird er geplottet.

    if show_graph:

        image_3D  += plot3d(f,(x,xmin,xmax),(y,ymin,ymax), adaptive=True, color=['red','white'], opacity=0.75)

    #Der Punkt (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) wird gezeichnet

    image_3D += point3d([p0[0],p0[1],f(x=p0[0],y=p0[1])], size=15)

    #Der Gradient wird als Vektor gezeichnet

    image_3D += line3d([[p0[0],p0[1],f(x=p0[0],y=p0[1])],[p0[0]+grad_p0[0],p0[1]+grad_p0[1],f(x=p0[0],y=p0[1])]],

                       color='blue', arrow_head=True, thickness=3)

    #Der sichtbare Bereich der z-Achse wird berechnet

    # Die Strittgroesse wurde herabgesenkt, damit der Rechenprozess weniger Zeit beansprucht [Jens]

    # Fuer den Startwert (2,1) beanspruchte der Algorithmus zuvor bei mir ueber 4min. und anschliessend

    # nur noch 15 sec. .

    zmax = max([(f(x=p0[0]+i*grad_p0[0],y=p0[1]+i*grad_p0[1])) for i in srange(-2,2,0.25)])

    zmin = min([(f(x=p0[0]+i*grad_p0[0],y=p0[1]+i*grad_p0[1])) for i in srange(-2,2,0.25)])

    #Die blau-graue Ebene wird gezeichnet

    if show_graph:

        image_3D += parametric_plot([p0[0]+s*grad_p0[0],p0[1]+s*grad_p0[1],t],(s,-2,2),(t,zmin,zmax),color='lavender',opacity=.75)

    #Die Tangente in Richtung des Gradienten wird so gezeichnet, dass sie innerhalb der gezeichneten blau-grauen Ebene bleibt.

    tmin = -(zmin-f(x=p0[0],y=p0[1]))/dfg(x=p0[0],y=p0[1])

    tmax = (zmax-f(x=p0[0],y=p0[1]))/dfg(x=p0[0],y=p0[1])

    image_3D += line3d([[p0[0]-tmin*grad_p0[0],p0[1]-tmin*grad_p0[1],f(x=p0[0],y=p0[1])-tmin*dfg(x=p0[0],y=p0[1])],[p0[0]+tmax*grad_p0[0],p0[1]+tmax*grad_p0[1],f(x=p0[0],y=p0[1])+tmax*dfg(x=p0[0],y=p0[1])]],

                       color='black', thickness=3)

​

    #Die gelbe Kurve, der Schnitt der blau-grauen Ebene mit dre Flaeche wird gezeichnet.

    image_3D += parametric_plot([p0[0]+t*grad_p0[0],p0[1]+t*grad_p0[1],f(x=p0[0]+t*grad_p0[0],y=p0[1]+t*grad_p0[1])], (t,-2,2),color='yellow',thickness=3)

    #image_3D wird angezeigt.

    image_3D.show(figsize=10)

​

    #Das zweite Bild mit den Hoehenlinien wird definiert

    image_2D  = contour_plot(f,(x,xmin, xmax), (y,ymin, ymax),fill=False,cmap=[(1-i/20,0,i/20) for i in range(21)],contours=20)

    #Der Gradient wird eingezeichnet

    image_2D += arrow([p0[0],p0[1]],[p0[0]+grad_p0[0],p0[1]+grad_p0[1]],color='blue')

    #Das image_2D wird angezeigt

    image_2D.show(axes_labels=['$x$','$y$'])