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\begin{document}

% Hier den Titel für das 
\title{Lehramtsspezifisches Projekt/Referat zum Thema\\[.5em]Körperautomorphismen}
\author{Christoph Wockel}
\maketitle 

\section*{Einleitung}

In diesem Projekt wollen wir den Begriff des Körperautomorphismus vorstellen.
Wir gehen dabei nach \cite{KarpfingerMeyberg13Algebra-3.-Auflage} vor.


\section{Grundlegende Definitionen}

\begin{definition}\label{def:Koerperautomorphismus}
 Es sei $k$ ein Körper. Dann ist eine Abbildung $\varphi : k \to k$ ein
 \emph{Körperautomorphismus}, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt
 sind:
 \begin{enumerate}
  \item $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$ für alle $x,y\in k$
  \item $\varphi(x\cdot y)=\varphi(x)\cdot \varphi(y)$ für alle $x,y\in k$
  \item $\varphi(1)=1$.
  \item $\varphi$ ist bijektiv.
 \end{enumerate}
\end{definition}

Wir beweisen zunächst einen elementaren Sachverhalt von Körperautomorphismen.

\begin{lemma}
 Ist $\varphi : k\to k$ ein Körperautomorphismus, so gilt $\varphi(0)=0$.
\end{lemma}

\begin{beweis}
 Es gilt
 \begin{equation*}
  \varphi(0)=\varphi(0)+\varphi(0)
 \end{equation*}
 und da $(k,\mathinner{+})$ eine Gruppe ist folgt aus \cite[Lemma
 2.1]{KarpfingerMeyberg13Algebra-3.-Auflage}
 \begin{equation*}
  0=\varphi(0).
 \end{equation*}
\end{beweis}

Eine zentrale Eigenschaft von Körperautomorphismen ist die folgende.

\begin{satz}\label{satz:Eigenschaften_von_Koerperautomorphismen}
 Ist $\operatorname{Prim}(k)\subseteq k$ der Primkörper von $k$, so gilt
 $\varphi(x)=x$ für alle $x\in \operatorname{Prim}(k)$. Insbesondere gilt
 somit $\varphi\in \operatorname{Gal}_{\operatorname{Prim}(k)}(k)$.
\end{satz}

\begin{beweis}
 Nach Definition lässt sich jedes Element $x\in\operatorname{Prim}(k)$ als
 Summe der $1$ schreiben, also
 \begin{equation}\label{eqn1}
  x=1+1+...+1.
 \end{equation}
 Da $\varphi$ nach Definition \ref{def:Koerperautomorphismus} additiv ist und
 $\varphi(1)=1$ gilt schließen wir mit Hilfe der Identität \eqref{eqn1}
 \begin{equation*}
  \varphi(x)=\varphi(1+1+...+1)=\varphi(1)+\varphi(1)+...+\varphi(1)=1+1+...+1=x.
 \end{equation*}
 Damit ist die erste Behauptung bewiesen. Dass
 $\varphi \in \operatorname{Gal}_{\operatorname{Prim}(k)}(k)$ gilt dann nach
 Definition der Galois-Gruppe.
\end{beweis}

\section*{Abschließende Bemerkung}

Wir haben gesehen, dass Automorphismen von Körpern einige bemerkenswerte
Eigenschaften haben. Insbesondere Satz
\ref{satz:Eigenschaften_von_Koerperautomorphismen} ist dabei zentral, da sich
daraus eine direkte Verbindung zur Galois-Theorie ergibt.

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{KarpfingerMeyberg13Algebra-3.-Auflage}
Christian Karpfinger and Kurt Meyberg.
\newblock {\em Algebra (3. Auflage)}.
\newblock Spektrum Akademischer Verlag, 2013.

\end{thebibliography}

\end{document}