Funktionalanalysis
(Vorlesung im SoSe 2018)

Dozenten: Thomas Schmidt (Vorlesung, Übungen), Sebastian Piontek (Übungen).

Vorlesungtermine (erste Vorlesung am 3. April):

• Di, 14-16 und Fr, 12-14, jeweils H4

Übungsgruppen und ihre Termine (erste Übung am 4./6. April):

• Gruppe 1: Mi, 10-12, Raum 1240, Sebastian Piontek/Thomas Schmidt
• Gruppe 2: Fr,  14-16, Raum   431, Thomas Schmidt
• Gruppe 3: Fr,  14-16, Raum   430, Sebastian Piontek

Relevanz und Hörerschaft: Es handelt sich um eine Veranstaltung des Wahlpflichtbereichs in den Bachelor-Studiengängen Mathematik (dort 3-aus-5-Bereich), Technomathematik und Wirtschaftsmathematik, die im Normalfall ab dem 4. Semester sinnvoll belegt werden kann. Weitere interessierte Hörer sind willkommen.

Vorkenntnisse: Die Vorlesung baut auf den Grundvorlesungen zur Analysis und linearen Algebra auf. Grundkenntnisse zur Integration bezüglich Maßen (z.B. aus der höheren Analysis oder der mathematischen Stochastik) werden ebenfalls vorausgesetzt.

Leistungspunkte: Die Vorlesung und die zugehörigen Übungen bilden ein Modul im Wert von 9 ECTS.

Vorlesungsinhalte: Lineare Funktionalanalysis kann man sich als eine Synthese von Analysis und linearer Algebra oder eine unendlich-dimensionale lineare Algebra vorstellen. Diese Thematik und genauer die Theorie der normierten Räume bzw. Banach-Räume und der stetigen linearen Operatoren zwischen solchen wird in der Vorlesung schwerpunktmäßig behandelt. Daneben werden auch Beispiele und Anwendungen besprochen.

Im Einzelnen ist in Übereinstimmung mit der Modulbeschreibung die Behandlung folgender Aspekte geplant:

• Banach- und Hilberträume,
• grundlegende Beispiele von Folgen- und Funktionenräumen
• lineare Operatoren, Räume von Operatoren
• Dualräume und Darstellungssätze,
• Bidualräume und Reflexivität,
• schwache Topologien, schwache Konvergenz, Kompaktheitssätze,
• Hauptsätze der linearen Funktionalanalysis: Fortsetzungssatz von Hahn-Banach, Folgerungen aus dem Baireschen Kategoriensatz, Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, Satz von Stone-Weierstraß,
• Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren,
• Sobolev-Räume (Einführung),
• Anwendungen auf Differentialgleichungen (Einführung).

Literatur: Eine Auswahl bekannter Lehrbücher ist:

• H.W. Alt, Lineare Funktionalanalysis, 6. Auflage, Springer, 2012,
• J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, Springer, 1996 (hieraus nur einzelne Abschnitte relevant!),
• H. Heuser, Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, 4. Auflage, Teubner, 2006,
• P.D. Lax, Functional Analysis, Wiley, 2002,
• R. Meise, D. Vogt, Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992,
• W. Rudin, Functional Analysis, Second Edition, McGraw-Hill, 1991,
• D. Werner, Funktionalanalysis, 2. Auflage, Springer, 1997,
• K. Yosida, Functional Analysis, Fourth Edition, Springer, 1974.