Proseminar zur Analysis (im WiSe 2017/18)

Dozent: Thomas Schmidt

Seminartermin: MI, 12-14, Raum 142

Vorbesprechung (mit Vortrags-/Terminvergabe): DO, 12.10., ab 14:00 Uhr, Raum 1313

Leistungspunkte: 4 ECTS (auf Vortrag und schriftliche Ausarbeitung)

Hörerschaft: Das Seminar richtet sich an Studierende in den Bachelor-Studiengängen Mathematik, Technomathemtik, Wirtschaftsmathematik (ab 3. Semester) und des Mathematik-Lehramts (i.d.R. ab 5. Semester).

Vorkenntnisse: Kenntnisse aus den Grundvorlesungen Analysis I+II sowie Lineare Algebra I+II werden vorausgesetzt.

Inhalte: Das Seminar wird sich mit Kurven im Euklidischen Raum Rⁿ und deren Untersuchung mit Hilfe von Differential- und Integralrechnung beschäftigen. Insbesondere werden der Begriff der Krümmung von Kurven und darauf aufbauend einige interessante Sätz behandelt: Zum Beispiel soll der Vierscheitelsatz bewiesen werden, gemäß dem bei jeder einfach geschlossenen Kurve in der Ebene mindestens vier kritische Punkte der Krümmung existieren, und es sollen untere Schranken für die Totalkrümmung von Kurven und Knoten hergeleitet werden.

Vortragsplan:

• Vortrag zu allgemeinen Kurven:
  • 25.10.: Kurven, Parametrisierungen, Kurvenlänge (S. Smadi)
• Vorträge zu ebenen Kurven:
  • 08.11.: Ebene Kurven - Krümmung und Umlaufzahl (M. Azimi)
  • 15.11.: Ebene Kurven - Umlaufsatz (V.A. Lubis)
  • 22.11.: Konvexe ebene Kurven (E. Mikailov)
  • 29.11.: Ebene Kurven - Vierscheitelsatz (V. Kamboj)
• Vorträge zu Raumkurven:
  • 13.12.: Raumkurven - Krümmung und Begleit-n-Bein (S. David)
  • 20.12.: Hauptsatz über Raumkurven, Totalwinkel bei Polygonen (P. Preußler)
  • 10.01.: Totalkrümmung, Krümmungsapproximation (M. Bahe)
  • 16.01.: Brückenzahl, Totalkrümmung, Satz von Fenchel, Teil I (S. Mohseni/G. Murthy) (Sondertermin DI, 16-18, Raum 434)
  • 17.01.: Brückenzahl, Totalkrümmung, Satz von Fenchel, Teil II (S. Mohseni/G. Murthy)
  • 24.01.: Verknotete Kurven, Satz von Fáry-Milnor (N. Thomsen)

Literatur zur Kurventheorie:

• C. Bär, Elementare Differentialgeometrie (Kapitel 2), de Gruyter, 2000.
• M.P. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen (Kapitel 1), Vieweg, 1983.
• W. Klingenberg, Eine Vorlesung über Differentialgeometrie (Kapitel 1 und 2), Springer, 1973.
• W. Kühnel, Differentialgeometrie, Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten (Kapitel 2), Vieweg, 2008.