65-135:  Seminar zur Mathematischen Physik: Supergeometrie ( English Version) Veranstalter: Christoph Sachse Sprechstunde: nach Vereinbarung Inhalt: 1. Lineare und kommutative Superalgebra 2. Supermannigfaltigkeiten 3. Punktfunktoren, kategorische Beschreibung von Supermannigfaltigkeiten 4. Supergruppen 5. Räume von Abbildungen zwischen Supermannigfaltigkeiten, (evtl. im Zusammenhang mit Sigma-Modellen) 6. Supergeometrie in der Physik (mehrere mögliche Themen zur Auswahl) Ziel: Ziel des Seminars ist es, einen Einstieg in das Gebiet der Supergeometrie zu vermitteln. Supergeometrie ist eine Erweiterung der kommutativen Geometrie, in der neben den üblichen kommutativen Koordinaten und Funktionen auch antikommutierende Funktionen zugelassen werden. Die ursprüngliche Motivation dazu stammt aus der Physik, die bis heute die meisten und interessantesten Beispiele und Probleme der Supergeometrie hervorgebracht hat. Im weiteren Sinne kann man die Supergeometrie jedoch als eine ``leicht'' nichtkommutative Verallgemeinerung der klassischen (algebraischen und Differential-)Geometrie betrachten. Als solche nimmt sie eine Sonderstellung ein, da die Methoden der kommutativen algebraischen Geometrie praktisch komplett anwendbar bleiben, aber im Vergleich zur gewöhnlichen Differentialgeometrie bereits neue Phänomene auftauchen. Wir werden zunächst einige algebraische Grundlagen der Supergeometrie kennenlernen: superkommutative Algebren, Lie-Superalgebren und deren Moduln. Danach werden wir zur Geometrie übergehen, d.h., Supermannigfaltigkeiten einführen und deren Eigenschaften erforschen. Obwohl dazu einige Hilfsmittel aus der algebraischen Geometrie notwendig werden, soll dabei möglichst nahe an der Differentialgeometrie geblieben werden, da dies in vielen Anwendungen zweckmäßig ist. Schließlich werden wir einige Themen anreißen, die für die aktuellen Anwendungen und Forschung relevant sind: Supergruppen und ihre Darstellungen, die funktorielle Beschreibung von Supermannigfaltigkeiten, sowie, bei Interesse, die Grundideen unendlich-dimensionaler Supermannigfaltigkeiten und einen Einblick in die Verwendung der Supergeometrie in der Physik, z.B. in supersymmetrischen Eichtheorien, der Supergravitation oder supersymmetrischen Sigma-Modellen. Vorkenntnisse: Die Veranstaltung richtet sich an Studierende aller mathematischen Studiengänge, sowie an Masterstudenten der Physik oder Mathematischen Physik. Nötige Vorkenntnisse: Lineare Algebra und Grundideen der Geometrie (z.B. aus der Vorlesung Differentialgeometrie I, oder auch der Vorlesung Allgemeine Relativitätstheorie). Nützlich, aber nicht zwingend notwendig, ist eine gewisse Vertrautheit mit den algebraischen Begriffen Ring, lokaler Ring etc. Hier kann auch eventuell ab und zu etwas nachgelesen werden. Literatur: P. Deligne, J. Morgan: Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein), AMS 1999 V.S. Varadarajan: Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction, AMS 2004 J. Bagger, J. Wess: Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, 1992 C. Baer: Nichtkommutative Geometrie (Vorlesungsskript) F. Constantinescu, H.F. de Groote: Geometrische und algebraische Methoden der Physik: Supermannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren, Teubner Studienbuecher, 1994 Zeit und Ort: Mi 14-16 Uhr, Raum 432 (Geomatikum), Vorbesprechung: Donnerstag, 3.2.2011, 13-14 Uhr im Raum 327 (Geomatikum) Studienleistung: Regelmäßige Teilnahme am Seminar und Halten eines Vortrags.