Höhere Analysis - Wintersemester 2020/21 - Vorlesungsvideos

Ingo Runkel

• Kapitel 11.1:
  • Teil 1 [mp4]: Gegenbeispiele zu Volumenfunktionen auf Potenzmengen
    Anmerkungen:
    • 26'30": Hier steht im Skript (und ich sage) "Banach-Traski", aber es ist Banach-Tarski. Das ist jetzt im Skript verbessert.
    
    
  • Teil 2 [mp4]: Ringe und Mengenfunktionen
    Anmerkungen:
    • 2'10": In Definition 11.1.2 (ii) muss es $$\bigcup_{i=1}^\infty A_i$$ heißen, nicht $$\bigcup_{n=1}^\infty A_i$$. Ist im Skript verbessert.
    • 36'15": In Beispiel 11.1.7 (2) sage ich, dass $$\phi(A)=0$$ für $$A$$ eine unendliche Menge. Das ist aber falsch (ist nicht additiv). Statt dessen sollte man hier $$-\infty$$ nehmen. Ist im Skript verbessert.
    
    
  
  
• Kapitel 11.2:
  • Teil 1 [mp4]: Elementarmengen, das Lebesgue-Maß auf Elementarmengen
  • Teil 2 [mp4]: reguläre Mengenfunktionen, äußeres Maß
  • Teil 3 [mp4]: messbare Mengen, Maßraum, Borelmengen
    Anmerkungen:
    • 30'30": In Definition 11.2.22 habe ich im Skript ergänzt, dass $$\mu$$ eine Mengenfunktion ist. (Es ist aber auch implizit im Begriff "$$\sigma$$-additiv" enthalten.)
    
    
  • Teil 4 [mp4]: Beweis von Satz 11.2.21
  
  
• Kapitel 11.3:
  • Teil 1 [mp4]: Messbare Funktionen - Definition und punktweise Konvergenz
  • Teil 2 [mp4]: Approximation durch einfache Funktionen
  
  
• Kapitel 11.4:
  • Teil 1 [mp4]: Integration einfacher, messbarer Funktionen
  • Teil 2 [mp4]: Lebesgue-integrierbare Funktionen, Sigma-Additivität des Integrals
  
  
• Kapitel 11.5:
  • Teil 1 [mp4]: Lebesguescher Satz über monotone Konvergenz
  • Teil 2 [mp4]: Satz von Fatou, Satz über dominierte Konvergenz
  
  
• Kapitel 11.6:
  • [mp4]: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von parameterabhängigen Integralen
  
  
• Kapitel 11.7:
  • Teil 1 [mp4]: L1 und L2 sind normierte Vektorräume
    Anmerkungen:
    • 5'20": Bei der L2-Norm habe ich die Wurzel vergessen: $$\|f\|_2 = \sqrt{|f(1)|^2+\cdots}$$
    • 29'50": Der Hinweis, den ich zur Warum?-Frage in Beispiel 11.7.6 (4) gebe, ist falsch. Die angegebene Funktion konvergiert auch bzgl $$\|\cdot\|_p$$, und zwar gegen die Nullfunktion, die stetig ist. Im Skript ist das verbessert.
    
    
  • Teil 2 [mp4]: Satz von Fischer-Riesz
  
  
• Kapitel 12.1:
  • [mp4]: Vergleich Lebesgue und Riemann Integral
    Anmerkungen:
    • ab 49'50": Damit man folgern kann, dass alle Einschränkungen auf $$[A,b]$$ integrierbar sind, muss mach noch fordern, dass $$f$$ auf allen $$[A,b]$$ beschränkt ist. Das habe ich vergessen, zu sagen.
  
  
• Kapitel 12.2:
  • Teil 1 [mp4]: Aussage des Satzes von Fubini und Bemerkungen dazu, Maße als Integrale
    Anmerkungen:
    • 1:03'00": Hier behaupte ich, der erste Term in der Stammfunktion sei $$\sqrt{1-t^2}$$. Das ist falsch, es sollte $$t \cdot \sqrt{1-t^2}$$ sein.
    
    
  • Teil 2 [mp4]: Vorbereitende Lemmas für den Beweis
  • Teil 3 [mp4]: Beweis des Satzes von Fubini
  • Teil 4 [mp4]: Produktfunktionen auf Produkträumen
    Anmerkungen:
    • ab 26'50": Hier sage ich in Beh.3, dass eine Gleichheit gilt. Aber es sollte $$\le$$ heißen. Damit ist meine Bemerkung dort, dass man damit Korollar 12.2.11 auch zeigen kann, ebenfalls falsch. Im Beweis wird bei 34'10" dann Beh.2 mit $$=$$ verwendet, aber es sollte $$\le$$ heißen.
    
    
  
  
• Kapitel 12.3:
  • Teil 1 [mp4]: Aussage des Transformationssatz und zwei Beispiele
    Anmerkungen:
    • ab 33'00": Hier sage ich im Video, dass die $$x$$ mit $$x\ge 0$$ weggelassen werden, aber es sollte $$x\le 0$$ heißen.
    
    
  • Teil 2 [mp4]: Skizze des Beweises des Transformationssatzes
    Anmerkungen:
    • ab 6'55": Hier sage ich $$T(M)$$, aber das Parellelogramm setzt ja bei 0 an und ist somit $$A(M)$$.
    • ab 38'50": Der Preis für meinen bislang peinlichsten Fehler geht an die Definition des Trägers, wo ich behaupte, es sei der Abschluss der Nullstellen. Richtig ist natürlich der Abschluss der Menge der Punkte, an denen $$f$$ nicht Null ist.
    
    
  
  
• Kapitel 13.1:
  • [mp4]: Definition von Untermannigfaltigkeiten, Satz vom regulären Wert
    Anmerkungen:
    • bei 9'10": In der Definition steht $$\varphi(M \cup U)$$, aber es sollte $$\varphi(M \cap U)$$ sein. In der Tonspur sage ich es richtig, aber merke nicht, dass es falsch dort steht.
    • bei 50'00" und 51'30": Hier sage ich $$n-d$$, aber es sollte $$d-n$$ heißen. (Das könnte noch ein paar Mal passieren, hier hatte ich die Notation gegenüber meinen Notizen geändert, was selten eine gute Idee ist.)
  
  
• Kapitel 13.2:
  • Teil 1 [mp4]: Definition Immersion, lokale Normalform
    Anmerkungen:
    • bei 13'00": Hier hätte ich $$\gamma = g \circ f$$ schreiben sollen, nicht $$\gamma = f \circ g$$.
    • bei 26'10": In Teil (ii) von Lemma 13.2.4 steht ein "zu $$\tilde\gamma$$" zuviel.
    
    
  • Teil 2 [mp4]: Definition Einbettung, Spuren von Einbettungen sind Untermannigfaltigkeiten
  
  
• Kapitel 13.3:
  • [mp4]: Volumen von n-Spaten im R^d
  
  
• Kapitel 13.4:
  • Teil 1 [mp4]: Integration über ein Kartengebiet, Unabhängigkeit von der Einbettung
    Anmerkungen:
    • bei 9'30": Hier schreibe ich "$$=$$", aber es sollte "$$\cap$$" sein, wie auch in der Tonspur gesagt.
    • bei 28'53": Hier schreibe ich "$$a \in \Omega$$", aber es sollte "$$a \in \Omega_1$$" heißen.
    
    
  • Teil 2 [mp4]: Beispiele zu Integration über Kartengebeit
    Anmerkungen:
    • bei 29'00": Hier behaupte ich $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(v) dv = 1$$. Da habe ich mich bei $$1-(-1)$$ verrechnet. Es soll 2 herauskommen, nicht 1. Damit ist der Flächeninhalt dann $$4 \pi r^2$$, wie es sein muss.
    
    
  
  
• Kapitel 13.5:
  • [mp4]: Zerlegung der Eins
    Anmerkungen:
    • bei 31'58": Ich sage $$|t|>1$$, schreibe $$|t|>0$$, aber richtig ist $$|t|\ge 1$$.
  
  
• Kapitel 13.6:
  • Teil 1 [mp4]: Integration über Untermannigfaltigkeiten
  • Teil 2 [mp4]: n-Nullmengen, Linearität des Integrals, Beispiele
    Anmerkungen:
    • ab 8'50": Hier schreibe ich $$\chi_A \cdot\epsilon_i \cdot\sqrt{g^\gamma}$$. Aber es muss ja auf $$\Omega$$ definiert sein. Also sollte dort stehen $$\chi_{\gamma^{-1}(A)} \cdot \epsilon_i \circ\gamma \cdot \sqrt{g^\gamma}$$.
    
    
  
  
• Kapitel 14.1:
  • [mp4]: Alternierende Multilinearformen, Eigenschaften
  
  
• Kapitel 14.2:
  • Teil 1 [mp4]: Differentialformen im R^n, Dachprodukt, Zurückziehen
  • Teil 2 [mp4]: Äußere Ableitung, Verträglichkeit mit Dachprodukt und Zurückziehen
  
  
• Kapitel 14.3:
  • Teil 1 [mp4]: Sternförmige Gebiete, Aussage des Poincaré-Lemma, Hilfslemma und Beweis
  • Teil 2 [mp4]: Beweis des Poincaré-Lemmas, de Rham Kohomologie von offenen Teilmengen des R^n
  
  
• Kapitel 14.4:
  • Teil 1 [mp4]: Definition des Tangentialraums einer Untermannigfaltigkeit
  • Teil 2 [mp4]: Differentialformen auf M, äußere Ableitung
    Anmerkungen:
    • bei 14:30: hier sage ich $$q = \gamma_\beta(x)$$, aber es sollte sein $$q = \gamma_\beta^{-1}(x)$$.
    
    
  
  
• Kapitel 14.5:
  • Teil 1 [mp4]: Integral einer n-Form im R^n und über die Spur einer Einbettung
  • Teil 2 [mp4]: Orientierung eines Vektorraums
  • Teil 3 [mp4]: Orientierung einer Untermannigfaltigkeit
  • Teil 4 [mp4]: Integration über orientierte Untermannigfaltigkeiten
  
  
• Kapitel 14.6:
  • Teil 1 [mp4]: Halbraum und Satz von Stokes für Halbraum
  • Teil 2 [mp4]: Glatt berandete Teilmengen und Orientierung des Randes
  • Teil 3 [mp4]: Satz von Stokes und Beweis
  • Teil 4 [mp4]: Beispiel: Auftrieb eines Körpers unter Wasser