Veranstalterin:

Birgit Richter, email: birgit.richter at uni-hamburg.de

1. Definieren Sie, was eine reelle Algebra ist und behandeln Sie die Beispiele der reellen und komplexen Zahlen, der nxn-Matrizen über den reellen Zahlen und reelle Funktionenalgebren. Wiederholen Sie die Definition der komplexen Zahlen zum einen über Zahlenpaare reeller Zahlen und beschreiben Sie zum anderen mögliche Einbettungen der komplexen Zahlen in die reellen 2x2-Matrizen. Behrend, 5.11.2010
2. Beschreiben Sie Anwendungen der komplexen Zahlen auf geometrische Fragestellungen: Beweisen Sie einige typische Sätze der Schulmathematik, indem Sie über komplexe Zahlen argumentieren. Schultze, 12.11.2010
3. Beschreiben Sie, was der Fundamentalsatz der Algebra besagt und geben Sie uns einen elementaren Beweis. Skizzieren Sie Anwendungen dieses wichtigen Satzes. Nehmeth, 19.11.2010
4. Definieren Sie, was reelle Divisionsalgebren sind und behandeln Sie die Beispiele der reellen, der komplexen Zahlen und der Quaternionen. Beweisen Sie, dass die Quaternionen eine reelle Divisionsalgebra bilden und beschreiben Sie die Quaternionen als reelle Unteralgebra der komplexen 2x2-Matrizen. Wiswe, 26.11.2010
5. Nutzen Sie die Quaternionen zur Beschreibung des Vektorprodukts im 3-dimensionalen reellen Raum. Zeigen Sie uns, dass die Einheitssphäre in den Quaternionen isomorph ist zur SU(2). Fünsterer, 3.12.2010
6. Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen orthogonalen Abbildungen des dreidimensionalen reellen Raums und den Quaternionen. Benutzen Sie Quaternionen zur Beschreibung von SO(3) und SO(4).
7. Beschreiben und beweisen Sie den Satz von Frobenius zur Struktur gewisser reeller Algebren. Insbesondere besagt diese Satz, dass es nur die reellen, die komplexen Zahlen und die Quaternionen als assoziative endlich-dimensionale Divisionsalgebren gibt. Ettner, 17.12.2010 und 7.1.2011
8. Es stellt sich natürlich die Frage, welche anderen reellen Divisionsalgebren es geben kann. Die Cayley-Zahlen sind der 8-dimensionale reelle Vektorraum mit einer geeigneten Multiplikation; diese ist allerdings nicht mehr assoziativ. Stellen Sie diese reelle Divisionsalgebra über ihre Multiplikationstabelle vor, leiten Sie einige Eigenschaften her und zeigen Sie, dass die Cayleyzahlen eine Divisionsalgebra bilden. Die Multiplikation kann man sich über die Fano-Ebene merken! Entfällt
9. Beweisen Sie den Struktursatz über nullteilerfreie, alternative, quadratische reelle Algebren, der besagt, dass wir inzwischen alle solche Algebren (bis auf Isomorphie) kennen! Entfällt
10. Beschreiben Sie die Automorphismen der Cayleyzahlen, d.h. alle multiplikativen und linearen bijektiven Selbstabbildungen. Die entstehende Gruppe ist sehr berühmt. A priori ist dies ein Problem von Automorphismen eines acht-dimensionalen Raums, aber Sie können das auf etwas Dreidimensionales reduzieren. Entfällt
11. Wir halten eine Primzahl p fest. Stellen Sie uns die p-adische Entwicklung von natürlichen Zahlen vor und definieren Sie die p-adische Bewertung ganzer und rationaler Zahlen. Was ist für diese Bewertung gross und was ist klein? Behandeln Sie Beispiele und führen Sie dann die p-adischen Zahlen ein. Bahn, 7. und 14.01.2011
12. Geben Sie uns zwei alternative Konstruktionen für die ganzen p-adischen Zahlen: zum einen als unendliche Reihen und zum anderen als einen sogenannten inversen Limes. Zeigen Sie, dass beide Konstruktionen äquivalent sind und stellen Sie die Zahl -1 in beiden Weisen dar. Spreckelsen, 21.01.2011
13. Geben Sie eine Lösung der Gleichung x^2-2 in den 7-adischen Zahlen an. Hat diese Gleichung immer eine Lösung in den p-adischen Zahlen für alle Primzahlen p? Leiten Sie die Charakterisierung der rationalen Zahlen als Unterring in den p-adischen Zahlen her. Hartmann entfällt.
14. Stellen Sie uns die analytischen Eigenschaften der p-adischen Zahlen vor. Definieren Sie die p-adischen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen an der Primzahl p und beweisen Sie uns seine Vollständigkeit. Vergleichen Sie diese Konstruktion mit der Konstruktion der reellen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen. Stuhlmann, 28.1.2011

Ziel:

Durch die Teilnahme am Seminar und die Vorbereitung eines Vortrags sollen die Kenntnisse der Algebra und Linearen Algebra vertieft werden. Die Vortragsthemen können zu Bachelorarbeiten ausgebaut werden.

Für:

Studierende des Lehramts Oberstufe (Gymnasium, berufsbildende Schulen).

Vorkenntnisse:

Inhalte der Vorlesungen zur linearen Algebra und Teile der Algebra (Bachelor).

Ablauf:

Konzipieren Sie Ihren Vortrag auf 70 Minuten und geben Sie uns zusätzlich eine ca 5-minütige historische Einordnung des Themas. Behandeln Sie im Anschluss an Ihren Vortrag ein kleines Beispiel als Anwesenheitsaufgabe. Geben Sie mir zwei Wochen vor Ihrem Vortrag eine Ausarbeitung des Vortrags ab.

Literatur:

• Ebbinghaus et al., Zahlen, Springer 3. Auflage 1992.
• Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer Nachdruck 2007.
• John Baez, The Octonians, Bulletin of the American Mathematical Society 39, 2001, 145--205.

Zeit und Ort:

Fr, 10-12h, Raum 432.