11.507 Seminar des Schwerpunktes Algebra und Zahlentheorie für Studierende der LO, WiSe 07/08 Veranstalterin: Birgit Richter. Als weitere Ansprechpartner (insbesondere für anschliessende Examensarbeiten): Dorothea Bahns, Christoph Schweigert Inhalt: Das Seminar beschäftigt sich mit Clifford-Algebren, die unter anderem dazu dienen, die Spin-Gruppen Spin(n) zu verstehen. Sie sollen im Seminar Techniken und Wissen aus der (Linearen) Algebra benutzen, um geometrische/physikalische Sachverhalte zu beschreiben. Themen, die wir im Seminar behandeln wollen, sind zum Beispiel die folgenden. Wiederholung: Bilinearformen. Allgemeine Definition, Beziehung zwischen symmetrischen Bilinearformen und quadratischen Formen, Beispiele: Standardskalarprodukt, Minkowski-Form; Bringen Sie die Mathematik der Minkowski-Form in Beziehung zur Minkowski'sche Raum-Zeit. 1 Vortrag Quadratische Räume sind Vektorräume mit quadratischer Form, also Paare (V,q). Definieren Sie die orthogonale Gruppe von (V,q), O(V,q). Erläutern Sie, dass im Fall dim(V) = n und q nicht ausgeartet, jedes Element in O(V,q) als Produkt von höchstens n Spiegelungen an Hyperebenen geschrieben werden kann. Wiederholen Sie den Trägheitssatz von Sylvester und behandeln Sie Beispiele der Form O(p,q). 1-2 Vorträge Zu zwei Vektorräumen U und V kann man das Tensorprodukt von U mit V bilden. Es ist dadurch charakterisiert, dass bilineare Abbildungen aus ihm in einen Vektorraum W genau den linearen Abbildungen von U x V nach W entsprechen. Geben Sie eine explizite Konstruktion des Tensorproduktes an. Welche Formel gilt für die Dimension von Tensorprodukten? 1 Vortrag Definieren Sie die Tensoralgebra eines Vektorraumes. Die Clifford-Algebra CL(V,q) eines quadratischen Raumes ist ein Quotient der Tensoralgebra. Sie setzen einfach x^2 gleich q(x,x). Erläutern Sie die Definition, die universelle Eigenschaft von Cl(V,q) und beschreiben Sie Cl^0(V,q) und Cl^1(V,q). 1 Vortrag Untersuchen Sie die Einheiten in Cl(V,q) und die Clifford-Gruppe und definieren Sie die Spin-Gruppen. 1 Vortrag Behandeln Sie die Fälle Spin(2) und Spin(3) im Detail. Die Cliffordalgebren zur Standardform im R^2 und R^3 haben explizite Beschreibungen. Nutzen Sie diese, um Spin(2) und Spin(3) geometrisch zu verstehen. Setzen Sie diese Gruppen in Beziehung zur SO(2) und SO(3). 1-2 Vorträge Das vorige Thema kann man ausbauen, indem man Clifford-Algebren auf dem R^k mit dem Negativen des Standard-Skalarprodukts als Matrizenalgebren identifiziert. Z.B. ist Cl(R^5) isomorph zur Algebra der komplexen 4x4-Matrizen, M_4(C). 1-2 Vorträge Erklären Sie das Experiment von Stern-Gerlach und stellen Sie den Zusammenhand zur Spin-Gruppe her. Einen Überblick dazu finden Sie in Miles Reid, Balazs Szendröi, Geometry and Topology, Cambridge University Press, 2005, Kapitel 8.7. 1 Vortrag Ziel: Dieses Seminar richtet sich speziell an Studierende des Lehramts. Die Vorträge im Seminar sind so angelegt, dass sich aus ihnen mit übersichtlichem Aufwand eine Staatsexamensarbeit entwickeln lässt. Für: Studierende der Oberstufenlehrämter. Vorkenntnisse: Es werden elementare Kenntnisse aus der Algebra 1 und der Stoff der Vorlesungen zur Linearen Algebra benötigt. Vorwissen in Physik ist nicht nötig. Literatur: Falko Lorenz, Lineare Algebra II, Spektrum Akademischer Verlag, 3. Auflage, 1996. Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, London Mathematical Society Lecture Notes Series 286, second edition, 2001. Erich Ossa, Topologie, Vieweg Verlag, 1992. Hieraus: Seiten 141--148 und Anhänge A2, A3. Zeit und Ort: Do, 8:30-10, Geom 431. Am 29.11. fällt das Seminar aus!