11.504 Seminar des Schwerpunktes Algebra und Zahlentheorie für Studierende der LO Neuer Termin: Do 8:15-9:45h, Raum 431. Am 01.02.2007 fällt das Seminar aus. Veranstalterin: Birgit Richter, email: richter at math.uni-hamburg.de Inhalt: Die Quaternionen; dieser Vortrag vertieft das Wissen, was Sie über Quaternionen aus der Algebra-Vorlesung haben. Entweder gibt es nur einen Vortrag zu diesem Thema, oder wir verbreitern das Gebiet durch die Diskussion reeller Divisionsalgebren. Für eine Staatsexamensarbeit bietet sich die Behandlung des Isomorphismus zwischen der Einheitssphäre im 4-dimensionalen reellen Raum und der SU(2) an, der mittels Quaternionen bewiesen werden kann. 1-2 Vorträge Cayley-Zahlen; Es stellt sich natürlich die Frage, welche anderen reellen Divisionsalgebren es geben kann. Die Cayley-Zahlen sind der 8-dimensionale reelle Vektorraum mit einer Multiplikation; diese ist allerdings nicht mehr assoziativ. Entweder gibt es nur einen Überblicksvortrag über Cayley-Zahlen, oder wir holen weiter aus, indem wir quadratische Algebren behandeln und die Theoreme von Frobenius, Hopf und Gelfand-Mazur beweisen. Aus diesem Themenbereich lassen sich gut und gerne drei Themen für Staatsexamensarbeiten finden. 1-4 Vorträge Die p-adischen Zahlen; Sie sollten die Universität nicht verlassen, ohne die p-adischen Zahlen kennengelernt zu haben. Hierbei ist p eine Primzahl. Sie kennen die Vervollständigung der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen. Die p-adischen Zahlen sind ebenfalls eine Vervollständigung, die in der Zahlentheorie und in vielen anderen Gebieten der Mathematik eine grosse Rolle spielt. Zu behandeln wären die p-adischen ganzen Zahlen und ihr Quotientenkörper. Für eine Staatsexamensarbeit sollte man die Anwendungen der p-adischen Zahlen auf das Lösen diophantischer Gleichungen beschreiben oder die Grundlegungen der Klassenkörpertheorie entwickeln. 1-3 Vorträge Conway-Spiele; Es gibt die verschiedensten Arten, die reellen Zahlen einzuführen. Conway-Spiele sind eine etwas ungewöhnliche Variante. Eine Ausarbeitung mit Details aus Conways Buch reichen für eine Staatsexamensarbeit. 1 Vortrag Konstruierbarkeit; Mit Hilfe der Theorie der Körpererweiterungen kann man klassische Fragen zur Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal negativ beantworten (Quadratur des Kreises, Dreiteilung eines beliebigen Winkels etc). 1-2 Vorträge Auflösbarkeit von Gruppen und Auflösbarkeit von Gleichungen hängen zusammen. Sie wissen, dass die alternierende Gruppe auf 5 Elementen nicht auflösbar ist. Diese Gruppe beschreibt gleichzeitig die Symmetrien eines Ikosaeders. Der Vortrag sollte dies in Beziehung setzen zur Nichtauflösbarkeit einer Gleichung 5. Grades. 1-2 Vorträge Ziel: Durch die Teilnahme am Seminar und die Vorbereitung eines Vortrags sollen die Kenntnisse der Algebra und Linearen Algebra vertieft werden. Die Vortragsthemen können zu Staatsexamensarbeiten ausgebaut werden. Für: Studierende des Lehramts. Vorkenntnisse: Inhalte der Vorlesungen zur linearen Algebra und Teile der Algebra 1. Literatur: Zahlen, Ebbinghaus et al., Springer. Weiterführende Literatur ist: Group theory for physics, S. Sternberg, Cambridge Geometry and Topology, Reid and Szendröi, Cambridge, Algebraische Zahlentheorie, Neukirch, Springer. Zeit und Ort: Der Termin des Seminars hat sich geändert: Wir treffen uns Do 8:15-9:45h Geomatikum 431, Beginn: 26.10.2006.