Bitte überlegen Sie sich jeweils für die darauffolgende Woche Antworten auf die folgenden Fragen:

• 01.04.08: Warum sind die kanonischen Vektorbündel über den reell- bzw komplex-projektiven Raum nicht trivial? Wie sieht das kanonische Vektorbündel über dem eindimensionalen komplex-projektiven Raum aus?
• 08.04.08: Überlegen Sie sich explizite glatte Strukturen für die Einheitssphären und die reell-projektiven Räume. Lesen Sie Kapitel 9 in Wolfgang Lücks Buch Algebraische Topologie -- Homologie und Mannigfaltigkeiten. Wir sprechen den Abschnitt dann nächste Woche in der Übung durch.
• 15.04.08: Was können Sie über das Normalenbündel der Sphären sagen, wenn Sie die Standardeinbettung der n-dimensionalen Einheitssphäre in den (n+1)-dimensionalen reellen Raum betrachten? Berechnen Sie die Stiefel-Whitney Klassen des Tangentialbündels der n-Sphäre.
• 22.04.08: Sie erinnern sich sicher an die Kohomologieringe der reell-projektiven Räume mit Koeffizienten im Körper mit zwei Elementen. Berechnen Sie damit die totale Stiefel-Whitney Klasse des kanonischen Geradenbündels über einem beliebigen reell-projektiven Raum.
• 29.04.08: Lesen Sie die volle Aussage der Universalität der Grassmannschen z.B. im tomDieck nach: Homotope Abbildungen des Basisraums in die n-te Grassmannsche liefern isomorphe Vektorbündel vom Rang n.
• 06.05.08: Welche Schubert-Symbole gehören zum Span von (0,0,2) und (1,0,1) bzw. zum Span von (0,0,1,1) und (1,0,0,0)?
• 20.05.08: Wie verträgt sich der Kohomologietransfer mit Cup-Produkten?
• 27.05.08: Kann man im glatten Fall die Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit durch die Orientierbarkeit ihres Tangentialbündels ausdrücken? Ist N eine Untermannigfaltigkeit von M (alles glatt, orientierbar), ist dann das Normalenbündel der Einbettung orientierbar?
• 03.06.08: Wir haben benutzt, dass der Abbildungskegel einer Kettenabbildung (vom Grad n) eine lange exakte Sequenz auf Homologie und Kohomologie induziert. Einige haben das schon für Kettenabbildungen vom Grad null gesehen. Beweisen Sie, dass der Kegel in einer kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen sitzt und dass der Verbindungshomomorphismus die Kettenabbildung ist, mit der wir gestartet sind.
• 10.06.08: Zeigen Sie, dass das abgeleitete Paar eines exakten Paares wieder exakt ist. Machen Sie sich im graduierten Fall klar, wie die Grade der höheren Differentiale sind.
• 17.06.08: Berechnen Sie die Homologie des unendlich-dimensionalen komplex-projektiven Raumes X über die Serre-Spektralsequenz. Die Fasersequenz, die Ihnen X als Quotienten der unendlich-dimensionalen Sphäre darstellt, sagt Ihnen, dass der Schleifenraum auf X homotopie-äquivalent zur 1-Sphäre ist. Damit können Sie die Schleifen-Wege-Faserung benutzen und Sie wissen, dass der Totalraum dieser Faserung zusammenziehbar ist.
• 24.06.08: Versuchen Sie, die Ringstruktur der Kohomologie des Schleifenraums einer Sphäre zu berechnen, indem Sie die Serre-Spektralsequenz benutzen. Schlagen Sie dazu nach, was eine Algebra mit dividierten Potenzen ist. Wenn Ihnen das zu kompliziert ist, dann berechnen Sie die Cup-Struktur zumindest mit rationalen Koeffizienten.
• 01.07.08: Es seien p und p' komplexe Vektorbündel über einem Basisraum B. Was können Sie über die Eulerklasse der Whitneysumme von p und p' (aufgefasst als reelles orientierbares Bündel) aussagen?
• 08.07.08: Schöne vorlesungsfreie Zeit!