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Vorlesung "Analysis II", Sommersemester 2012

Vorlesungsinhalte

04.04. einführende Betrachtungen zum Volumenbegriff, Würfel und deren Zerlegungen, oberes und unteres Volumen einer beschränkten Menge, Jordan-messbare Mengen
11.04. Eigenschaften des Jordan-Masses: Charakterisierung der Messbarkeit über das Volumen des topologischen Randes, Vereinigungen, Durchschnitte und Differenzen J-messbarer Mengen sind J-messbar, Translationsinvarianz, Regularität, eingeschränkte Sigma-Additivität
13.04. Integration beschränkter Funktionen: Definition des Riemann-Integrals, Verknüpfung von R-integrierbarer mit stetiger Funktion ist R-integrierbar, Rechenregeln für Integrale, Integral über eine Jordan-messbare Teilmenge, Vertauschen von Grenzwert und Integral für gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen, Mengen vom Lebesgue-Mass 0
18.04. Eigenschaften von Lebesgue-Nullmengen, Charakterisierung Riemann-integrierbarer Funktionen (Wiederholung: Lebesgue-Lemma), erster Mittelwertsatz der Integralrechnung
20.04. Riemannsche Integrale in R: Integral R-integrierbarer Funktion ist gleichmäßig stetige Funktion der Integrationsschranke, und differenzierbar in Stetigkeitspunkten des Integranden, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Stammfunktionen, Methoden der unbestimmten Integration:
Grundintegrale, partielle Integration, Integration von sin^n(x) als Beispiel, Herleitung der Wallis-Formel, Substitutionsregel mit Beispielen
25.04. Zweier Mittelwertsatz der Integralrechnung, Anwendungsbeispiel; Mehrdimensionale Integrale: Satz von Fubini, Beispiele, geometrische Interpretation des Integrals als Volumen unter dem Graphen, Volumen der n-dimensionalen Vollkugel
27.04. Volumen von Rotationskörpern. Uneigentliche Integrale über unbeschränkte Integrationsintervalle, Beispiele, u.a. Poisson-Integral
02.05. Uneigentliche Integrale von auf offenen Intervallen definierten Funktionen (unbeschränkt oder ohne Grenzwert im Randpunkt), Beispiele, insbesondere Gamma-Funktion. Fourierreihen: der Raum L^2_{per}, L^2-Skalarprodukt, Orthonormalsysteme
04.05. Beispiele von ON-Systemen, Fourierkoeffizienten bzgl, eines ON-Systems, Minimalitätseigenschaft der Fourierkoeffizienten, Besselsche Ungleichung, vollständige ON-Systeme, Satz von Parseval, gleichmässig konvergierende Fourierreihen von stetigen Funktionen konvergieren gegen die Funktion
09.05. Die Fourierreihe von x^2, Berechnung von zeta(4) und zeta(2), Überblick über Konvergenzresultate (ohne Beweis). Kurventheorie: rektifizierbare Kurven und ihre Länge, Länge von differenzierbar parametrisierten Kurven als Integral der Norm der Ableitung
11.05. Beispiele für Längen: Kreisbögen, Zykloide, reguläre Kurven, Länge unabhängig von der Parametrisierung, Schnittwinkel regulärer Kurven
16.05. Satz vom natürlichen Parameter, natürliche Parametrisierung der Schraubenlinie, Krümmung für ebene Kurven, Umlaufsatz. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher: Begriff der Differenzierbarkeit, differenzierbar impliziert stetig
18.05. Richtungsableitung, Ableitung multilinearer Abbildungen, Beispiele, Rechenregeln für Ableitungen und Richtungsableitungen
23.05. Gradient einer Funktion, geometrische Interpretation, partielle Ableitungen, Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist hinreichend für Differenzierbarkeit, partielle Ableitungen höherer Ordnung
25.05. C^k-Funktionen, Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen, Matrixdarstellung für Df (Jacobi-Matrix), Verknüpfung von C^k-Funktionen ist C^k, Differentiation parameterabhängiger Integrale nach dem Parameter
06.06. mehr Differentiation von Integralen nach Parametern, Vergleich von reeller und komplexer Differenzierbarkeit für Funktionen auf C=R^2, Taylor-Formel, Spezialfälle, lokale Extrempunkte und kritische Punkte
08.06. quadratische Formen über R, Hessesche Form einer Funktion, Kriterien für lokale Extrema, Beispiele
13.06. Satz über die Umkehrfunktion
15.06. Beispiel für Umkehrfunktion, Satz über implizite Funktionen
20.06. Beispiele zum Satz über implizite Funktionen, drei äquivalente Definitionen für Untermannigfaltigkeiten des R^n, Beispiele
22.06. mehr Beispiele, Tangentialkegel, Tangentialkegel ist für Untermannigfaltigkeiten in jedem Punkt ein Unterraum, in lokalen Extrempunkten der Einschränkung einer Funktion auf eine Untermanngifaltigkeit steht der Gradient der Funktion senkrecht auf dem Tangentialraum an die Untermannigfaltigkeit, Langrange-Multiplikatoren
27.06. Beispiele für Extrema mit Nebenbedingungen; die Transformationsformel für Integrale in mehreren Dimensionen (Formulierung und Beginn des Beweises)
29.06. Transformationsformel für Integrale (Schluss des Beweises), Beispiele: Volumen von Rotationskörpern, Volumen der 3-dimensionalen Kugel. Gewöhnliche Differentialgleichungen: Grundproblem, Beispiel aus der Mechanik, Umformulierung einer Gleichung k-ter Ordnung als ein System erster Ordnung
04.07. Autonome Differentialgleichungen und ihre geometrische Interpretation; elementare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erster Ordnung auf R: Trennung der Variablen, Homogene Differentialgleichungen (u=x/t), lineare Differentialgleichungen (Variation der Konstanten)
06.07. Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard und Lindelöf, Gronwall-Ungleichung, Satz über die stetige Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen
11.07. Konstruktion der maximalen Lösung, Satz von der maximalen Lösung, Folgerungen in Spezialfällen; Exponential einer linearen Abbildung
13.07. Eigenschaften des Exponentials von Abbildungen, Beispiele, Ableitung von e^(tA) nach t, homogene lineare Differentialgleichungssysteme, mögliches qualitatives Verhalten in R^2, ein Beispiel