SEMINAR Galois Theorie, Mo 16:15-17:45 MIN-F SemRm 3.3
Klassische Ergebnisse (BSc.):
20.04.26 TM: Hauptsatz der Galois Theorie ( Kunz §10, Borcherds )
- Wdh. Grundbegriffe wie normal, separabel, Galois Gruppe, ...
27.04.26 UR: Konstruktion mit Zirkel und Lineal ( Kunz §1, Morandi 15, Borcherds )
- Formalisierung Konstruktion mit Zirkel und Lineal, Algebraisierung der Konstruktionsprobleme,
Dreiteilung eines Winkels, Quadratur eines Kreises, Würfelverdopplung
04.05.26
NS: Kreisteilungskörper (Kunz §13, Morandi 7,
Borcherds
- Fragestellung: "Wann ist die Konstruktion eines n-Ecks nur mit Zirkel und Lineal möglich?",
Fermatsche (Prim-) Zahlen,
Kreisteilungskörper und Einheitswurzeln,
Kreisteilungspolynome,
Beweis zur Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome über den rationalen Zahlen,
Der Satz von Gauss-Wantzel,
Isomorphie der Galoisgruppe eines Kreisteilungskörpers zur primen Restklassengruppe,
Der Satz von Dirichlet im Spezialfall a = 1,
Das Umkehrproblem für die rationalen Zahlen
18.05.26 TN: Endliche Körper (Kunz §14, )
01.06.26 NB: Auflösen durch Radikale (Kunz §2 +§15, Morandi 16 , Stillwell,
Borcherds )
- Mitternachtsformel, Cardano Formeln, Abel-Ruffini Theorem , ...
Inverses Galois Problem (BSc & MSc):
08.06.26 HZ: Konstruktionen von Galoiserweiterungen: A_n, S_n ( Tiesinga, Völklein, Serre )
15.06.26 SF: Konstruktionen von Galoiserweiterungen mit Galois Darstellungen ( Tiesinga, Völklein, Serre )
- elliptische Kurven, Torsionspunkte
22.06.26 TM Hilbert Irreduzibilitätssatz (Duhesme, Völklein, Serrre)
- Q ist hilbertsch, Beweis
Galois Theorie und Überlagerungen (BSc & MSc):
9. MD: Fundamentalgruppen und topologische Galois Überlagerungen (Eriksson-Persson 2, Douady-Douady, Jones-Wolfart )
10. IB: Algebraische Kurven und Riemannsche Flächen ( Eriksson-Persson 3, Wolfart, Douady-Douady, Bost )
11/12. Kinderzeichnungen ( Eriksson-Persson 3, Wolfart, Douady-Douady )
13. Satz von Weil (Wolfart, Koeck )
Literatur:
Jean-Benoit Bost: Introduction to Compact Riemann Surfaces, Jacobians, and Abelian Varieties in From Number Theory to Physics, Springer Verlag
Regine Douady and Adrien Douady: Algebra and Galois Theories,
Springer Verlag
Francois Duhesme: The Inverse Galois Problem over Q and Hilbert's
Irreducibility Theorem,
Bachelor Thesis, ETH Zürich
Dennis Eriksson and Ulf Persson:
Galois theory and coverings,
Normat 59:3-4, 178–191 (2011)
Girondo and Gonzalez-Diez: Introduction to Compact Riemann Surfaces and Dessins d’Enfants, Cambridge University Press
Gareth A. Jones and Jürgen Wolfart: Dessins d'Enfants on Riemann Surfaces,Springer Verlag
Ernst Kunz: Algebra, Vieweg Verlag
Patrick Morandi: Field and Galois Theory, Springer Verlag
Jean-Pierre Serre: Lectures on the Mordell-Weil Theorem, Vieweg Verlag
John Stillwell:
Galois Theory for Beginners, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
H.G.J. Tiesinga: The inverse Galois problem, Bachelor Project Mathematics, Groningen
Jürgen Wolfart: Kinderzeichungen und Uniformisierungstheorie,Vorlesungsskript
Helmut Völklein: Groups as Galois Groups. Cambridge University Press