SEMINAR Galois Theorie, Mo 16:15-17:45 MIN-F SemRm 3.3

Klassische Ergebnisse (BSc.):

20.04.26 TM: Hauptsatz der Galois Theorie ( Kunz §10, Borcherds )

- Wdh. Grundbegriffe wie normal, separabel, Galois Gruppe, ... 27.04.26 UR: Konstruktion mit Zirkel und Lineal ( Kunz §1, Morandi 15, Borcherds )

- Formalisierung Konstruktion mit Zirkel und Lineal, Algebraisierung der Konstruktionsprobleme, Dreiteilung eines Winkels, Quadratur eines Kreises, Würfelverdopplung 04.05.26 NS: Kreisteilungskörper (Kunz §13, Morandi 7, Borcherds

- Fragestellung: "Wann ist die Konstruktion eines n-Ecks nur mit Zirkel und Lineal möglich?", Fermatsche (Prim-) Zahlen, Kreisteilungskörper und Einheitswurzeln, Kreisteilungspolynome, Beweis zur Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome über den rationalen Zahlen, Der Satz von Gauss-Wantzel, Isomorphie der Galoisgruppe eines Kreisteilungskörpers zur primen Restklassengruppe, Der Satz von Dirichlet im Spezialfall a = 1, Das Umkehrproblem für die rationalen Zahlen 18.05.26 TN: Endliche Körper (Kunz §14, )

- Der Primkörper eines endlichen Körpers mit Charakteristik p ist isomorph zum Restklassenkörper über p; Ist [K:F_p] = m, so besitzt K genau p^m verschiedene Element und K/F_p ist Galoiserweiterung; Galoisfeld der Ordnung q=p^m; G(F_q/F_p) ist zyklisch von Ordnung m und wird erzeugt vom Frobenius-Automorphismus; Eine endliche Körpererweiterung ist galoissch; Ein irreduzibles Polynom f über einem endlichen Körper ist separabel und G(f) ist zyklisch. Zusätzlich kommen eine Erinnerung und Beispiele dran. 01.06.26 NB: Auflösen durch Radikale (Kunz §2 +§15, Morandi 16 , Stillwell, Borcherds )

- Auflösung algebraischer Gleichungen: Gleichungen 2, 3 und 4 Grades, pq-Formel, Cardonschen Formeln. Auflösung algebraischer Gleichung durch Radikale: Radikale/Radikalerweierung, Satz von Abel (-Ruffini) Inverses Galois Problem (BSc & MSc):

08.06.26 HZ: Konstruktionen von Galoiserweiterungen: A_n, S_n ( Tiesinga, Völklein, Serre )

- Allgemeine Fragestellung des Inversen Galois Problem, Hilbert's Irreduzibilitätssatz (ohne Beweis), Eine doppelt transitive Untergruppe G von S_n mit Translation ist gleich S_n, Existenz von Polynomen mit symmetrischer Galoisgruppe, Konkrete Polynome mit symmetrischer Galoisgruppe, Formel für die Diskriminante von Trinomialen, Konkrete Polynome mit alternierender Galoisgruppe 15.06.26 SF: Konstruktionen von Galoiserweiterungen mit Galois Darstellungen ( Tiesinga, Völklein, Serre )

- elliptische Kurven, Torsionspunkte 22.06.26 TM Hilbert Irreduzibilitätssatz (Duhesme, Völklein, Serrre)

- Q ist hilbertsch, Beweis
Galois Theorie und Überlagerungen (BSc & MSc):

9. MD: Fundamentalgruppen und topologische Galois Überlagerungen (Eriksson-Persson 2, Douady-Douady, Jones-Wolfart )

10. IB: Algebraische Kurven und Riemannsche Flächen ( Eriksson-Persson 3, Wolfart, Douady-Douady, Bost )

11/12. Kinderzeichnungen ( Eriksson-Persson 3, Wolfart, Douady-Douady )

13. Satz von Weil (Wolfart, Koeck )

Literatur:
Jean-Benoit Bost: Introduction to Compact Riemann Surfaces, Jacobians, and Abelian Varieties in From Number Theory to Physics, Springer Verlag
Regine Douady and Adrien Douady: Algebra and Galois Theories, Springer Verlag
Francois Duhesme: The Inverse Galois Problem over Q and Hilbert's Irreducibility Theorem, Bachelor Thesis, ETH Zürich
Dennis Eriksson and Ulf Persson: Galois theory and coverings, Normat 59:3-4, 178–191 (2011)
Girondo and Gonzalez-Diez: Introduction to Compact Riemann Surfaces and Dessins d’Enfants, Cambridge University Press
Gareth A. Jones and Jürgen Wolfart: Dessins d'Enfants on Riemann Surfaces,Springer Verlag
Ernst Kunz: Algebra, Vieweg Verlag
Patrick Morandi: Field and Galois Theory, Springer Verlag
Jean-Pierre Serre: Lectures on the Mordell-Weil Theorem, Vieweg Verlag
John Stillwell: Galois Theory for Beginners, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
H.G.J. Tiesinga: The inverse Galois problem, Bachelor Project Mathematics, Groningen
Jürgen Wolfart: Kinderzeichungen und Uniformisierungstheorie,Vorlesungsskript
Helmut Völklein: Groups as Galois Groups, Cambridge University Press