Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 9

(Abgabe Do 1.6.06 vor der Vorlesung)

1. Wir bezeichnen mit (x, y, z) die kartesischen Koordinaten des ℝ^{3}. Drücken Sie die

Euklidische Metrik

g = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}

in sphärischen Polarkoordinaten (r, ϑ, φ) aus, wobei ϑ ∈ (0, π), φ ∈ (0, 2π).

2. Die Euklidische Metrik g induziert eine Riemannsche Metrik h auf der Sphäre S_{r}^{2} ⊂ ℝ^{3} vom Radius r. Zeigen Sie, dass

h = r^{2}(dϑ^{2} + sin^{2} ϑdφ^{2}),

in den lokalen Koordinaten (ϑ, φ) auf S_{r}^{2}.

3. Berechnen Sie die Christoffelsymbole von h in den lokalen Koordinaten (ϑ, φ).

4. Zeigen Sie, unter Verwendung von Aufgabe 3, dass die Geodätischen von (S_{r}^{2}, h) mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufene Großkreisbögen sind.