Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 8

(Abgabe bis Fr 26.5.06, 10 Uhr bei Frau Klügel)

Im folgenden sei M eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n.

1. Sei ∇ ein Zusammenhang in T M. Zeigen Sie, dass die Torsion T von ∇ ein (1, 2)- Tensorfeld ist. Hinweis: Sie brauchen nur zu überprüfen, dass

𝔛(M) × 𝔛(M) ∋ (X, Y) ↦ T (X, Y) ∈ 𝔛(M)

eine C^{∞}(M)-bilineare Abbildung ist.

2. Sei E → M ein glattes Vektorbündel. Zeigen Sie, dass die additive Gruppe Ω^{1}(End E) auf der Menge 𝒞(E) der Zusammenhänge in E einfach transitiv operiert. Mit anderen Worten: 𝒞(E) ist ein affiner Raum über dem Vektorraum Ω^{1}(End E). Sie dürfen die Tatsache verwenden, dass 𝒞(E) ≠ ∅. Zur Erinnerung: Eine Gruppenoperation (=Gruppenwirkung) einer Gruppe G auf einer Menge X ist ein Gruppenhomomorphismus α : G → Bij(X) in die Gruppe der Bijektionen von X. Die Wirkung heisst einfach transitiv, wenn die Bahnabbildung G ∋ g ↦ α(g)x ∈ X eine Bijektion ist (für ein und somit für alle x ∈ X).

3. Sei 𝒞_{0}(T M) ⊂ 𝒞(T M) die Menge der torsionsfreien Zusammenhänge. Zeigen Sie, dass 𝒞_{0}(T M) ⊂ 𝒞(T M) ein affiner Unterraum ist und geben Sie den zugehörigen Untervektorraum von Ω^{1}(End T M) an. Sie dürfen die Tatsache verwenden, dass 𝒞_{0}(T M) ≠ ∅.

4. Sei ∇ ein Zusammenhang in T M und Γ_{ij}^{k} seine Christoffelsymbole bezüglich lokaler Koordinaten (x^{1}, …, x^{n}) auf einer offenen Menge U ⊂ M. Zeigen Sie, dass

(a) T = 0 auf U genau dann, wenn Γ_{ij}^{k} = Γ_{ji}^{k} für alle i, j, k und dass

(b) für den Levi-Civita Zusammenhang einer pseudo-Riemannschen Metrik g auf M folgende Formel gilt:

2Γ_{ij}^{k} = ∑_{l=1}^{n}(∂_{i}g_{jl} + ∂_{j}g_{il} − ∂_{l}g_{ij})g^{lk},

wobei ∂_{i} = ∂/∂x^{i}, g_{ij} = g(∂_{i}, ∂_{j}) und (g^{ij}) = (g_{ij})^{−1} die inverse Matrix ist.