Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 7

(Abgabe Do 18.5.06 vor der Vorlesung)

1. (a) Welche der folgenden (0, 2)-Tensorfelder g auf ℝ^{3} sind pseudo-Riemannsche Metriken auf ℝ^{3}? i. dx ⊗ dy + dy ⊗ dx + dx ⊗ dz + dz ⊗ dx, ii. dx ⊗ dx + dy ⊗ dz + dz ⊗ dy, iii. dx ⊗ dx + dy ⊗ dz − dz ⊗ dy, iv. (dx + ydz) ⊗ (dx + ydz) + (dy + dz) ⊗ (dy + dz) + (dy − dz) ⊗ (dy − dz), v. (ydx + dz) ⊗ (ydx + dz) + (dy + dz) ⊗ (dy + dz) + (dy − dz) ⊗ (dy − dz).

(b) Bestimmen Sie den Index ν(g) in den Fällen, in denen g eine pseudo-Riemannsche Metrik ist.

(c) Geben Sie in diesen Fällen drei Vektorfelder an, die in jedem Punkt eine Orthonormalbasis bilden.

(d) Für 1-Formen α, β definiert man das symmetrische (0, 2)-Tensorfeld

αβ := \frac{1}{2}(α ⊗ β + β ⊗ α) .

Vereinfachen Sie den Ausdruck für die oben aufgelisteten Tensorfelder unter Verwendung dieser Notation.

2. Zeigen Sie, dass die Gleichung

−x^{2} + y^{2} + z^{2} = c,

wobei c ∈ ℝ^{∗}, eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit S_{c} ⊂ ℝ^{3} definiert.

3. Bestimmen Sie den Tangentialraum T_{p}S_{c} der Fläche S_{c} in jedem Punkt p ∈ S_{c}.

4. Zeigen Sie, dass das Minkowskische Skalarprodukt −dx^{2} + dy^{2} + dz^{2} eine pseudo-Riemannsche Metrik g^{c} auf S_{c} induziert. Bestimmen Sie den Index ν(g^{c}).