Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 6

(Abgabe Do 11.5.06 vor der Vorlesung)

Wir betrachten das Vektorfeld

X = \frac{∂}{∂x} − y^{2} \frac{∂}{∂y}

auf der kartesischen Ebene ℝ^{2}.

1. (a) Bestimmen Sie den Fluss von X.

(b) Skizzieren Sie die Integralkurven von X.

(c) Ist das Vektorfeld X vollständig?

(d) Gibt es Integralkurven von X, die für alle Zeiten existieren?

2. (a) Gibt es nichtkonstante glatte Funktionen f : ℝ^{2} → ℝ mit X(f) = 0?

(b) Bestimmen Sie zunächst alle glatten Funktionen f : ℋ → ℝ auf der oberen

Halbebene

ℋ := {(x, y) ∈ ℝ^{2}|y > 0}

mit X(f) = 0.

3. Nach dem Satz vom Igel hat eine stetiges (tangentiales) Vektorfeld auf der Sphäre S^{2} mindestens eine Nullstelle. Geben Sie ein glattes Vektorfeld X ∈ 𝔛(S^{2}) mit genau einer Nullstelle an.

4. Wir betrachten den Nullkegel

K = {(x^{1}, …, x^{n}) ∈ ℝ^{n} |− ∑_{i=1}^{ν}(x^{i})^{2} + ∑_{i=ν+1}^{n}(x^{i})^{2} = 0}

des pseudo-Euklidischen Vektorraums ℝ_{ν}^{n} mit 1 ≤ ν ≤ n−1. Sei q eine quadratische Form auf ℝ^{n} mit

q^{−1}(0) = K.

Zeigen Sie, dass dann

q = c(− ∑_{i=1}^{ν}(x^{i})^{2} + ∑_{i=ν+1}^{n}(x^{i})^{2}) mit c ∈ ℝ^{∗}.