Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 5

(Abgabe Do 4.5.06 vor der Vorlesung)

1. Zeigen Sie, dass

φ(t) := (\frac{t}{1 + t^{4}} , \frac{t^{3}}{1 + t^{4}} )

eine injektive Immersion φ : ℝ → ℝ^{2} definiert.

2. (a) Zeigen Sie, dass das Bild von φ mit der Bernoullischen Lemniskate

C := {(x, y) ∈ ℝ^{2}|(x^{2} + y^{2})^{2} = xy}

übereinstimmt.

(b) Ist φ : ℝ → C ein Homöomorphismus?

(c) Ist C eine eindimensionale Mannigfaltigkeit?

3. (x^{1}, …, x^{n}) : U → ℝ^{n} seien lokale Koordinaten einer C^{∞}-Mannigfaltigkeit M. Beweisen Sie die Formel

[X, Y] = ∑_{i,j=1}^{n}(X^{i} \frac{∂Y^{j}}{∂x^{i}} − Y^{i} \frac{∂X^{j}}{∂x^{i}})\frac{∂}{∂x^{j}}

für Vektorfelder X = ∑ X^{i} \frac{∂}{∂x^{i}} und Y = ∑ Y^{i} \frac{∂}{∂x^{i}}.

4. (x^{1}, …, x^{n}) seien die kanonischen globalen Koordinaten von ℝ^{n}. Bestimmen Sie die Lieableitung ℒ_{ξ}T der folgenden Tensorfelder T ∈ Γ(T^{r,s}ℝ^{n}) bezüglich des Eulervektorfeldes ξ = ∑_{i=1}^{n} x^{i} \frac{∂}{∂x^{i}}. Geben Sie in jedem Fall (r, s) an.

(a) (x^{i})^{k}, k ∈ ℕ,

(b) \frac{∂}{∂x^{i}},

(c) exp(− ∑(x^{i})^{2})ξ + (∑(x^{i})^{2})^{2006} \frac{∂}{∂x^{1}}

(d) dx^{i},

(e) ξ^{⊗k},

(f) ∑_{i=1}^{n} dx^{i} ⊗ dx^{i} (das euklidische Skalarprodukt),

(g) ∑_{i=1}^{n} dx^{i} ⊗ \frac{∂}{∂x^{i}} (= Id_{T ℝ^{n}}).