Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 4

(Abgabe Do 27.4.06 vor der Vorlesung)

1. Berechnen Sie die Kartenwechsel für den in der Vorlesung angegebenen Atlas des reellen projektiven Raumes ℝP^{n}.

2. Zeigen Sie, dass die Darstellung der Gruppe GL(n + 1, ℝ) auf ℝ^{n+1} eine Wirkung auf ℝP^{n}, und ebenso auf S^{n}, durch Diffeomorphismen induziert.

3. Bestimmen Sie den Kern dieser Gruppenwirkung GL(n + 1, ℝ) → Diff(M), wobei M = ℝP^{n} oder S^{n}. Zeigen Sie, dass die Wirkung von GL(n + 1, ℝ) auf M transitiv ist, d.h. nur eine Bahn besitzt, und bestimmen Sie die Standgruppe

GL(n + 1, ℝ)_{p} = {g ∈ GL(n + 1, ℝ)|gp = p}

eines Punktes p ∈ M.

4. Zeigen Sie, dass bereits die Untergruppe SO(n + 1) ⊂ GL(n + 1, ℝ) transitiv auf S^{n} und ℝP^{n} wirkt und bestimmen Sie die zugehörigen Standgruppen.