Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 3

(Abgabe Do 20.4.06 vor der Vorlesung)

1. Beweisen Sie den Umkehrsatz für glatte Abbildungen zwischen C^{∞}-Mannigfaltigkeiten (unter Verwendung des Umkehrsatzes der Differentialrechnung im ℝ^{n}).

2. Sei f : M → N eine glatte Abbildung zwischen C^{∞}-Mannigfaltigkeiten, die immersiv in p ∈ M ist, d.h. der Rang von f in p stimmt mit m = dim M überein. Zeigen Sie, dass es dann lokale Koordinaten (x^{1}, …, x^{m}) in einer Umgebung U von p und (y^{1}, …, y^{n}) in einer Umgebung V von f(p) gibt derart, dass f(U) ⊂ V und

y^{i} ∘ f|_{U} = x^{i} für i = 1, …, m,
y^{j} ∘ f|_{U} = 0 für m < j ≤ n.

(Mit anderen Worten entspricht f in den Koordinaten der kanonischen Inklusion ℝ^{m} = ℝ^{m} × {0} ↪ ℝ^{m} × ℝ^{n−m} = ℝ^{n}.)

3. Sei f : M → N eine glatte Abbildung zwischen C^{∞}-Mannigfaltigkeiten, die submersiv in p ∈ M ist, d.h. der Rang von f in p stimmt mit n = dim N überein. Dann gibt es lokale Koordinaten (x^{1}, …, x^{m}) in einer Umgebung U von p und (y^{1}, …, y^{n}) in einer Umgebung V von f(p), derart dass f(U) ⊂ V und

y^{i} ∘ f|_{U} = x^{i} für i = 1, …, n.

(Mit anderen Worten entspricht f in den Koordinaten der kanonischen Projektion ℝ^{m} = ℝ^{n} × ℝ^{m−n} → ℝ^{n}.)

4. Sei f : M → N eine glatte Abbildung zwischen C^{∞}-Mannigfaltigkeiten, die konstanten Rang k in einer Umgebung von p ∈ M hat. Dann gibt es lokale Koordinaten (x^{1}, …, x^{m}) in einer Umgebung U von p und (y^{1}, …, y^{n}) in einer Umgebung V von f(p), derart dass f(U) ⊂ V und

y^{i} ∘ f|_{U} = x^{i} für i = 1, …, k,
y^{j} ∘ f|_{U} = 0 für k < j ≤ n.

(Mit anderen Worten entspricht f in den Koordinaten der Abbildung ℝ^{m} = ℝ^{k} × ℝ^{m−k} → ℝ^{k} ↪ ℝ^{k} × ℝ^{n−k} = ℝ^{n}, (u^{1}, …, u^{m}) ↦ (u^{1}, …, u^{k}, 0, …, 0).)