Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 2

(Abgabe Do 13.4.06 vor der Vorlesung)

1. (i) Sei N ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit einer C^{∞}-Mannigfaltigkeit M. Zeigen

Sie, dass die Inklusionsabbildung ι : N → M eine Immersion ist. (ii) Sei N ⊂ M ein topologischer Unterraum einer C^{∞}-Mannigfaltigkeit M. Deswei-

teren sei N mit der Struktur einer C^{∞}-Mannigfaltigkeit ausgestattet, und zwar derart, dass die Inklusionsabbildung ι : N → M eine Immersion ist. Zeigen Sie, dass dann N ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit ist.

2. Eine Wirkung einer Gruppe Γ durch Diffeomorphismen auf einer C^{∞}-Mannigfaltigkeit M ist ein Gruppenmorphismus α : Γ → Diff(M) in die Gruppe der Diffeomorphismen von M. Man setzt γp := α(γ)p, für γ ∈ Γ, p ∈ M. Die Wirkung heißt frei und eigentlich diskontinuierlich, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

(a) Für alle p ∈ M gibt es eine Umgebung U, so dass γU ∩U = ∅ für alle γ ∈ Γ\{e}.

(b) Für alle p, q ∈ M, Γp ≠ Γq, gibt es Umgebungen U von p und V von q, so dass

γU ∩ γ′V = ∅

für alle γ, γ′ ∈ Γ.

Zeigen Sie, dass unter diesen Bedingungen der Raum der Bahnen M/Γ die Struktur einer C^{∞}-Mannigfaltigkeit derselben Dimension wie M erbt und dass die Quotientenabbildung π : M → M/Γ eine glatte Überlagerung ist. Letzteres bedeutet, dass jeder Punkt p ∈ M/Γ eine Umgebung U besitzt, so dass jede Zusammenhangskomponente von π^{−1}(U) durch π diffeomorph auf U abgebildet wird.

3. Zeigen Sie, dass die abelsche Gruppe ℤ^{n} frei und eigentlich diskontinuierlich durch Translationen auf ℝ^{n} wirkt und dass der Quotient ℝ^{n}/ℤ^{n} diffeomorph zu einem n-dimensionalen Torus T^{n} := S^{1} × ⋯ × S^{1} (n Faktoren) ist.

4. Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 2, dass die Quotientenabbildung S^{n} → ℝP^{n} eine glatte Überlagerungen ist.