Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 1

(Abgabe Do 6.4.06 um 10 Uhr bei Frau Klügel, Sekretariat SP AD)

1. Sei M eine C^{∞}-Mannigfaltigkeit der Dimension m. Eine Untermannigfaltigkeit der Dimension n ≤ m von M ist eine Teilmenge N ⊂ M mit folgender Eigenschaft. Zu jedem Punkt p_{0} ∈ N gibt es eine offene Umgebung U ∋ p_{0} und lokale Koordinaten (x^{1}, …, x^{m}) : U → ℝ^{m} von M, so dass

U ∩ N = {p ∈ U|x^{i}(p) = 0 für alle i > n} .

(Solche Koordinaten heißen an N angepaßt.)

(i) Zeigen Sie, dass N in kanonischer Weise eine n-dimensionale C^{∞}-Mannigfaltigkeit ist und dass die Inklusionsabbildung ι : N → M glatt ist.

(ii) Zeigen Sie, dass die Existenz angepaßter lokaler Koordinaten in einer Umgebung von p_{0} äquivalent zu folgender Bedingung ist. Es gibt es eine offenen Umgebung V von p_{0} und k = m − n glatte Funktionen f_{i} : V → ℝ, so dass erstens V ∩ N = {p ∈ V |f_{i}(p) = 0, i = 1, …, k} und zweitens die k × m-Matrix

(\frac{∂f_{i}}{∂x^{j}} )_{i,j}

Rang k hat.

2. Zeigen Sie, unter Verwendung von Aufgabe 1 (ii), dass die Sphäre S^{n} ⊂ ℝ^{n+1} eine Untermannigfaltigkeit der Dimension n ist.

3. Sei Mat(m, n) der Vektorraum aller m × n-Matrizen und Mat_{k}(m, n) ⊂ Mat(m, n) die Teilmenge der Matrizen vom Rang k. Zeigen Sie, dass Mat_{k}(m, n) ⊂ Mat(m, n) ≅ ℝ^{mn} eine Untermannigfaltigkeit der Dimension mn − (m − k)(n − k) ist. (Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Spezialfall m = n = k + 1.)

4. Zeigen Sie, dass die Gruppen SO(n) ⊂ SL(n, ℝ) ⊂ GL(n, ℝ) Untermannigfaltigkeiten des Vektorraums Mat(n, n) sind und bestimmen sie deren Dimension. Zeigen Sie für die obigen Gruppen G, dass die Gruppenmultiplikation G × G → G glatt ist.