Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 13

(Abgabe Do 6.7.06 vor der Vorlesung)

1. Sei (M, g) eine zusammenhängende pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ≥ 3, so dass für alle p ∈ M die Schnittkrümmung K(Π) = K(p) nicht von der Tangentialebene Π ⊂ T_{p}M abhängt. Zeigen Sie, dass K dann eine konstante Funktion ist.

2. Sei (M, g) eine kompakte orientierte zweidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Satz von Gauß-Bonnet besagt, dass

∫_{M} Kdvol = 2πχ(M),  (1)

wobei dvol die Riemannsche Volumenform ist und χ(M) die Euler-Poincaré-Charak-teristik. Nach Definition ist dvol_{p} = e_{1}^{∗} ∧ e_{2}^{∗} für jede orthonormale Basis (e_{1}, e_{2}) von T_{p}M, p ∈ M. Die Euler-Poincaré-Charakteristik ist eine topologische Invariante, die sich zum Beispiel durch eine Triangulierung der Fläche berechnen lässt: χ(M) = E− K + F. Hierbei steht E, K, F jeweils für die Anzahl der Ecken, Kanten, Flächen der Triangulierung. Beweisen Sie den Satz von Gauß-Bonnet nach folgender Anleitung. Betrachten Sie zunächst ein (kleines) geodätisches Dreieck Δ. Zeigen Sie, dass

∫_{Δ} Kdvol = − ∫_{∂Δ} θ,  (2)

wobei ∇e_{1} = θe_{2} für einen in einer Umgebung von Δ definierten orthonormalen Rahmen (e_{1}, e_{2}) von T M.

3. Zeigen Sie als nächstes, dass − ∫_{∂Δ} θ = δ := α + β + γ − π, wobei α, β, γ die Innenwinkel des Dreiecks sind.

4. Führen Sie den globalen Satz von Gauß-Bonnet (1) auf die lokale Formel (2) zurück. Sie dürfen verwenden, dass jede Fläche mit Riemannscher Metrik eine geodätische Triangulierung besitzt.