Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 12

(Abgabe Do 29.6.06 vor der Vorlesung)

1. Wir betrachten die Niveaumenge

ℋ_{c} := {x ∈ ℝ_{ν}^{n}|⟨x, x⟩_{ν} = c}, c ∈ ℝ,

wobei ⟨·, ·⟩_{ν} das pseudo-Euklidische Skalarprodukt von ℝ_{ν}^{n} ist. Zeigen Sie:

(a) ℋ_{c} ⊂ ℝ_{ν}^{n} ist eine glatte Hyperfläche genau dann, wenn c ≠ 0. ℋ_{c} ist dann immer auch eine pseudo-Riemannsche Hyperfläche.

(b) ℋ_{0} ⊂ ℝ_{ν}^{n} ist ein Kegel, d.h. invariant unter der skalaren Multiplikation. Die Teilmenge ℋ_{0} \ {0} ⊂ ℝ_{ν}^{n} ist eine glatte Hyperfläche, aber keine pseudo-Riemannsche Hyperfläche.

(c) Die Weingartenabbildung S = S^{ξ} der pseudo-Riemannschen Hyperfläche ℋ_{c} ⊂ ℝ_{ν}^{n} (c ≠ 0) bezüglich des Positionsvektorfeldes ξ ist S = −Id.

2. L, M ⊂ N seien transversale Untermannigfaltigkeiten einer glatten Mannigfaltigkeit N, d.h. dass für alle p ∈ L ∩ M

codim (T_{p}L ∩ T_{p}M) = codim T_{p}L + codim T_{p}M

gilt. Hierbei steht codim für die Kodimension in T_{p}N. Zeigen Sie, dass dann L∩M ⊂ N eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension

codim L ∩ M = codim L + codim M

in N ist.

3. Sei M ⊂ N eine pseudo-Riemannsche Untermannigfaltigkeiten einer pseudo-Riemann-schen Mannigfaltigkeit (N, g), und L ⊂ N eine total geodätische Untermannigfaltigkeit, die M senkrecht schneidet (definieren Sie diesen Begriff). Zeigen Sie, dass dann L ∩ M ⊂ M eine total geodätische Untermannigfaltigkeit ist.

4. Sei φ eine Isometrie einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) eine. Zeigen Sie, dass die Fixpunktmenge von φ eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von M ist. Folgern Sie, dass die Fixpunktmenge jedes involutiven Diffeomorphismus’ einer glatten Mannigfaltigkeit eine glatte Untermannigfaltigkeit ist. (Sie dürfen benutzen, dass jede C^{∞}-Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik besitzt.)