Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 11

(Abgabe Do 22.6.06 vor der Vorlesung)

1. Sei (V, ⟨·, ·⟩) ein pseudo-Euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie, dass

F (u, v)w := ⟨v, w⟩u − ⟨u, w⟩v, u, v, w ∈ V,

einen abstrakten Krümmungstensor definiert.

2. Sei π : E → N ein glattes Vektorbündel und f : M → N eine glatte Abbildung. Zeigen Sie, dass

f^{∗}E := {(p, e) ∈ M × E|f(p) = π(e)} ⊂ M × E

eine glatte Untermannigfaltigkeit ist und dass die Produktprojektion π_{M} : M ×E → M auf f^{∗}E die Struktur eines glatten Vektorbündels über M induziert.

3. Die Riccikrümmung eines Zusammenhangs ∇ auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist das durch

Ric(X, Y) := spur(Z ↦ R(Z, X)Y), X, Y ∈ 𝔛(M)

definierte (0, 2)-Tensorfeld.

(a) Wenn ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang einer pseudo-Riemannschen Metrik ist, dann ist Ric symmetrisch.

(b) Der Krümmungstensor jeder pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension n ≤ 3 ist vollständig durch die Riccikrümmung bestimmt.

4. Sei g eine pseudo-Riemannsche Metrik auf einer glatten zusammenhängenden Mannigfaltigkeit M der Dimension n ≥ 3 und Ric die zugehörige Riccikrümmung. Zeigen Sie, dass aus der Gleichung

Ric = fg, f ∈ C^{∞}(M),

die Konstanz von f folgt. (Lösungen dieser Gleichung heissen Einsteinmetriken).