Universität Hamburg Department Mathematik Vorlesung Differentialgeometrie SS 2006 – V. Cortés

Übungsblatt 10

(Abgabe Do 15.6.06 vor der Vorlesung)

1. Sei ∇ ein torsionsfreier Zusammenhang und f eine glatte Funktion auf einer C^{∞}- Mannigfaltigkeit M. Die kovariante Ableitung Hess_{f} = ∇df der 1-Form df ist ein (0, 2)-Tensorfeld. Zeigen Sie, dass dieses Tensorfeld symmetrisch ist:

Hess_{f}(X, Y) = Hess_{f}(Y, X)

für alle X, Y ∈ 𝔛(M).

2. Betrachten Sie den Zusammenhang ∇ auf M = ℝ^{2} − {0}, dessen Zusammenhangsform im kartesischen Rahmen (e_{1}, e_{2}) = (\frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y}) durch

ω = ( \begin{matrix}0 & adφ \\ −adφ & 0 \end{matrix} ) ,

gegeben ist, wobei a ∈ ℝ eine Konstante ist und (r, φ) Polarkoordinaten in der Ebene ℝ^{2} − {0} sind.

(i) Zeigen Sie, dass ∇ ein metrischer Zusammenhang ist bez. der Euklidischen Metrik g = dx^{2} + dy^{2}.

(ii) Ist ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang einer pseudo-Riemannschen Metrik?

3. (iii) Berechnen Sie den Krümmungstensor R von ∇.

(iv) Berechnen Sie die Parallelverschiebung (bezüglich ∇) entlang der Strahlen φ =

φ_{0} = const.

(v) Berechnen Sie die Parallelverschiebung entlang der Kreislinien r = r_{0} = const.

4. (vi) Bestimmen Sie den Vektorraum der parallelen Vektorfelder auf M (in Abhängigkeit vom Parameter a).