11.602: Seminar über Differentialgeometrie Veranstalter: Vicente Cortés, email: cortes at math.uni-hamburg.de Inhalt: Liegruppen, G-Strukturen, fast komplexe Mannigfaltigkeiten, verallgemeinerte Geometrie (im Sinne von Hitchin) Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Unter einer G-Struktur auf M versteht man grob gesprochen eine Familie von Basen der Tangentialräume von M, mit der Eigenschaft, dass je zwei solche Basen durch genau ein Element der Gruppe G ineinander überführt werden. Hierbei ist G eine lineare Liegruppe, wie z.B. O(n) oder GL(n,C). Eine G-Struktur definiert eine geometrische Struktur auf der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M. Die den Gruppen O(n) und GL(n,C) entsprechenden geometrischen Strukturen sind beispielsweise eine Riemannsche Metrik (G=O(n), dim M=n) und eine fast komplexe Struktur (G=GL(n,C), dim M=2n). Viele interessante geometrische Eigenschaften der Struktur werden durch partielle Differentialgleichungen auf M beschrieben. Die stärkste solche Eigenschaft ist die Integrabilität der Struktur. Im Fall einer Riemannschen Metrik bedeutet die Integrabilität, dass die Geometrie lokal euklidisch ist. Im Fall einer fast komplexen Mannigfaltigkeit impliziert die Integrabilität die Existenz eines holomorphen Atlanten. (Man spricht dann von einer komplexen Struktur, statt von einer fast komplexen Struktur.) Im Seminar werden wir interessante partielle Integrabilitätsbedingungen für spezielle G-Strukturen betrachten. Dabei werden Riemannsche und fast komplexe Strukturen eine wichtige Rolle spielen. Man gelangt vom Begriff der G-Struktur zu Hitchins verallgemeinerter Geometrie, indem man in der obigen Diskussion im wesentlichen das Tangentialbündel TM durch die direkte Summe TM+T*M aus dem Tangentialbündel und dem Kotangentialbündel ersetzt. Verallgemeinerte Geometrien sind von aktuellem Interesse in der Stringtheorie. Ziel: Einarbeitung in ein ausgewähltes differentialgeometrisches Thema. Vorkenntnisse: Das Seminar kann begleitend zur Differentialgeometrie I besucht werden, ist aber auch für Teilnehmerinnen und Teilnehmer mit fortgeschrittenen Kenntnissen in Differentialgeometrie geeignet. Je nach Vorkenntnissen sollte dabei ein grundlegender oder ein speziellerer Vortrag übernommen werden. Literatur: Grundlagen zu Liegruppen und G-Strukturen findet man z.B. in den entsprechenden Kapiteln folgender Klassiker: Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups Kobayashi-Nomizu, Foundations of Differential Geometry I-II Zu fast komplexen Mannigfaltigkeiten und verallgemeinerter Geometrie sollen ausgewählte Originalartikel besprochen werden. Anmerkungen: Die aktive Teilnahme am Seminar wird allen empfohlen, die Differentialgeometrie als Vertiefungsgebiet wählen möchten. Mögliche Diplomarbeitsthemen o.ä. können nach einem erfolgreichen Seminarvortrag besprochen werden. Vorbesprechung: Freitag den 9.2.2007 um 16:00 im SR 435 (GEOMATIKUM). Ort und Zeit: freitags 16 Uhr s.t., SR 434 (GEOMATIKUM). Vorträge: Liste