Aufgabe 1: [4 P.]
Es bezeichnen a, b, c die Seitenlängen eines Dreiecks. Beweise die Ungleichung a³ + b³ + 3abc > c³.

Aufgabe 2: [4 P.]
Vier Spielsteine (zwei weiße und zwei schwarze) befinden sich auf einem 23 x 23-Spielbrett: zu
Beginn des Spiels ist der eine weiße oben links, der andere weiße Stein unten rechts, die beiden
schwarzen Steine sind unten links und oben rechts positioniert. Die weißen und die schwarzen
Steine werden abwechselnd gezogen, wobei weiß beginnt. Bei jedem Zug wird ein Stein auf ein
daneben oder darunter bzw. darüber liegendes benachbartes Feld geführt, sofern es frei ist. Weiß
hat gewonnen, wenn es zwei nebeneinanderliegende Felder besetzt. Kann dies schwarz verhindern'?

Aufgabe 3: [6 P.]
In einem konvexen Viereck  AB CD bezeichnen B bzw. F die Mittelpunkte der Seiten BC, bzw.
CD.  Die Strecken AB, AF, BF zerlegen das Viereck in vier Dreiecke, deren Flächeninhalte (in
irgendeiner Reihenfolge) vier aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind. Wie groß kann der Flächen-
inhalt des Dreiecks ABD maximal werden'?

Aufgabe 4: [7 P.]
n Glühlampen befinden sich in einer Reihe. Zu Beginn brennen einige von ihnen. Am Ende jeder Minute werden alle brennenden Lampen ausgeschaltet, während jede ausgeschaltete Lampe eingeschaltet wird, sofern sie vorher neben genau einer brennenden Lampe positioniert war. Für welches n ist es möglich eine Ausgangskonfiguration so zu finden, dass jederzeit mindestens eine Lampe brennt?

Aufgabe 5:  [7 P.]
Ein spitzwinkliges Dreieck wird geradlinig in zwei Teile zerschnitten (nicht notwendig durch einen
Eckpunkt). Eines der beiden Teile wird wiederum geradlinig in zwei Teile zerschnitten, u.s.w.:
bei jedem Schritt wird eines der vorhandenen Teile ausgewählt und wiederum geradlinig in zwei Teile
zerschnitten. Nach einer Reihe von Schritten stellt sich heraus, dass alle so erhaltenen Teile
Dreiecke sind. Können alle diese Dreieck stumpfwinklig sein?

Aufgabe 6:  [7 P.]
In einer streng monoton steigenden Folge positiver ganzer Zahlen teilt ab der 2002-ten jede Zahl
der Folge die Summe aller vorhergehenden Folgenglieder. Beweise, dass von einer Stelle an .jedes
Folgenglied gleich der Summe aller vorhergehenden Zahlen ist.

Aufgabe 7:  [8 P.]
Gegeben ist eine Kette von Dominosteinen, angeordnet nach den üblichen Regeln. Du darfst folgende Operation durchführen: Finde eine Teilkette mit gleichen Anfangs­ und End-Augenzahlen, löse sie heraus, drehe sie als Ganzes um 180° und füge sie wieder ein. Zeige, dass es durch diese Operationen stets möglich ist, zwei beliebige Ketten aus den gleichen Sätzen von Dominosteinen ineinander überzuführen, sofern beide Ketten mit der gleichen Augenzahl beginnen und auch beide mit der gleichen Augenzahl enden.

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.

Zeit: 4,5  Stunden.