Aufgabe 1: [3 P.]
Geben Sie mindestens ein Polynom P(x) vom Grad 2001 an, das die Gleichung P(x) + P(1-x) = 1 für alle Zahlen x erfüllt.

Aufgabe 2: [5 P.]
Gegen Ende des Schuljahres wird klar, dass  in jeder Gruppe von mindestens 5 Schülern 80% aller in diesem Schuljahr vergebenen nicht-ausreichenden Noten
auf höchstens 20% der Schüler dieser Gruppe entfallen. Zeigen Sie, dass dann mindestens 3/4 aller nicht-ausreichenden Noten auf ein und denselben
Schüler entfallen müssen.

Aufgabe 3: [5 P.]
In einem Dreieck ABC seien A,H_a, BH_b und CH_c die Höhen. Zeige, dass das Dreieck, dessen Ecken aus den Höhenschnittpunkten der Dreiecke AH_bH_c, BH_aH_c und CH_aH_b besteht, kongruent zu dem Dreieck H_aH_bH_c ist.

Aufgabe 4: [5 P.]
A und B sind zwei Tabellen aus m Zeilen und n Spalten. Die Einträge sind entweder 0 oder 1, allerdings fallen die Einträge einer Zeile von links nach rechts
gesehen, bzw. einer Spalte von oben nach unten  gesehen, nicht. Für jedes k mit 1 k m ist die Summe der oberen k Zeilen der Tabelle A nicht kleiner als
die entsprechende Summe der Tabelle B. Ferner sind die Anzahlen der Einsen in beiden Tabellen gleich. Zeigen Sie, dass für jedes i mit 1 i n die Summe der
ersten i Spalten der Tabelle B nicht kleiner ist als die entsprechende Summe der Tabelle A.

Aufgabe 5:
In einem Schachturnier spielt jeder Teilnehmer gegen jeden anderen genau einmal. Bei einem Sieg erhält der Gewinner einen Punkt, bei einem Remis bekommt jeder einen halben Punkt gutgeschrieben. Der Verlierer bekommt keinen Punkt.

a) [4 P.]  Ist es möglich, dass für jeden Spieler P die Summe der Punkte der Spieler, die P besiegt hat, größer ist als die Summe der Punkte der Spieler, denen P unterlag?

b) [4 P.]  Ist es möglich, dass für jeden Spieler P die erste Summe kleiner ist als die zweite Summe?

Aufgabe 6:  [8 P.]
Beweisen Sie, dass es 2001 konvexe Polyeder gibt mit folgender Eigenschaft: Je drei von ihnen haben keinen Punkt gemeinsam, je zwei von ihnen berühren sich (d.h. sie haben mindestens einen gemeinsamen Punkt an auf der Oberfläche, aber keinen inneren Punkt).

Aufgabe 7:
Einige Schachteln werden im Uhrzeigersinn am Rande eines runden Tisches hingestellt. Jede Schachtel ist entweder leer oder enthält einen oder mehrere Chips. Ein Zug besteht nun darin, dass man aus einer Schachtel sämtliche Chips herausnimmt und sie einzeln auf die (im Uhrzeigersinn) folgenden Schachteln verteilt

a) [4 P.] Angenommen, man muss bei jedem Zug (ausser dem ersten) stets die Schachtel leeren, in die beim vorherigen Zug der letzte Chip gelegt wurde. Zeigen Sie, dass sich dann irgendwann die Startverteilung der Chips wieder einstellen muss.

b) [4 P.] Angenommen, man darf bei jedem Zug mit einer beliebigen Schachtel beginnen. Ist es dann wahr, dass man durch eine geeignete Folge von Zügen jede beliebige Verteilung der Chips erreichen kann?

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5  Stunden.