Aufgabe 1: [3 P.]
In einem fernen Land erhalten 10% der Beschäftigten 90% der Gesamtlohnsumme. Nehmen wir an, dass das Land in mehrere Regionen aufgeteilt wird. Kann es
passieren, dass in jeder Region der Gesamtlohn von je 10% der Beschäftigten nicht größer ist als 11% der Gesamtlohnsumme dieser Region?

Aufgabe 2: [3 P.]
Stell Dir vor, vor Dir liegen drei Haufen aus 51, 49 und 5 Steinen. Du darfst je zwei Haufen zusammenfügen oder einen Haufen, der aus einer
geraden Anzahl von Steinen besteht, halbieren. Ist es möglich, irgendwann 105 Haufen aus je einem Stein zu erhalten?

Aufgabe 3: [5 P.]
Der Punkt A liegt innerhalb eines Winkels mit der Spitze M. Ein Strahl, der von A ausgeht, trifft einen Schenkel in B, wird dort (nach dem Reflektionsgesetz) so
reflektiert, daß er den anderen Schenkel in C trifft und von dort wieder nach A reflektiert wird. Beweise, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BCM auf der Geraden AM liegt.

Aufgabe 4: [5 P.]
Mehrere sich nicht schneidende Diagonalen zerlegen ein konvexes Polygon in Dreiecke. Die Anzahl der Dreiecke, die zu einer Ecke gehören, werden neben diese Ecke geschrieben. Ist es möglich, die Diagonalen zu rekonstruieren, wenn nur diese Eckzahlen bekannt und die Diagonalen ausradiert sind?

Aufgabe 5:
a) [3 P.]  Ein schwarzer und ein weißer Bauer werden auf ein Schachbrett gestellt. Du kannst jeden Bauern genau ein Feld horizontal oder vertikal ziehen (vorausgesetzt, das Feld ist frei). Kannst Du Züge so finden, dass alle möglichen Positionen der beiden Bauern genau einmal angenommen werden, wenn sie abwechselnd gezogen werden?

b) [4 P.] Gleiche Frage, aber ohne abwechselndes Ziehen.
 

Aufgabe 6:  [7 P.]
In einem Dreieck ABC seien A,H_a, BH_b und CH_c die Höhen. Zeige, dass das Dreieck, dessen Ecken aus den Höhenschnittpunkten der Dreiecke AH_bH_c, BH_aH_c und CH_aH_b besteht, kongruent zu dem Dreieck H_aH_bH_c ist.

Aufgabe 7:
Alex wählt sich eine zweistellige Zahl. Gregory versucht sie zu erraten. Ist die von Gregory vorgeschlagene Zahl korrekt oder stimmt eine Ziffer und die andere unterscheidet sich höchstens um 1, so antwortet Alex mit "heiss", andernfalls antwortet er mit "kalt". (Beispiel: Ist 65 gewählt, so sind die Zahlen 65, 64, 66, 55, 75 heiß, alle anderen sind kalt.)

a) [2 P.]  Zeige, dass es für Gregory keine Strategie gibt, wie er mit höchstens 18 Versuchen Alex's Zahl garantiert erraten kann.

b) [3 P.]  Gib eine Strategie für Gregory an, wie er mit höchstens 24 Versuchen Alex's Zahl herausfinden kann.

c) [3 P.] Gibt es eine Gewinnstrategie für Gregory mit 22 Versuchen?

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.

Zeit: 4,5  Stunden.